\chapter{线性空间}
\section{数域}


我们之前学到过各种数集.如整数集、有理数集、实数集及复数集.这些数集不仅是一些数字符号的集合,更重要的是在其上定义了运算.常见的运算有：加、减、乘、除.我们常记整数集为 $\mathbb{Z}$,有理数集为 $\mathbb{Q}$,实数集为 $\mathbb{R}$,复数集为 $\mathbb{C}$.则 $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ 都是 $\mathbb{C}$ 的子集,即 $\mathbb{C}$ 的一部分.我们注意到,在整数集 $\mathbb{Z}$ 中,任意两个元素相加、相减或相乘以后仍属于 $\mathbb{Z}$.但是两个整数相除（除数不为零）则并不一定属于 $\mathbb{Z}$,它可能是一个分数.这就是说,整数集 $\mathbb{Z}$ 在加法、减法与乘法下封闭,但在除法下不封闭.在有理数集 $\mathbb{Q}$ 中,加、减、乘、除都是封闭的.在实数集及复数集中也如此.我们把数集的这些特性抽象出来,作如下的定义.
\begin{definition}
	设 $\mathbb{K}$ 是复数集 $\mathbb{C}$ 的子集且至少有两个不同的元素(0和1),如果 $\mathbb{K}$ 中任意两个数的加法、减法、乘法及除法（除数不为零）仍属于 $\mathbb{K}$,则称 $\mathbb{K}$ 是一个数域.
\end{definition}

根据这个定义,有理数集、实数集及复数集都是数域,而整数集不是数域.通常我们把在加法、减法、乘法下封闭（不一定除法封闭）的数集称为数环,因此整数集是数环但不是数域.




\begin{theorem}
	任一数域$\mathbb{K}$必包含有理数域 $\mathbb{Q}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
	任取$a\in \mathbb{K}$,由于$\mathbb{K}$是一个数域,对减法封闭,于是
	\[0 = a-a \in \mathbb{K}\]
	根据数域的定义,任取一非零元$b\in \mathbb{K}$,由封闭性知
	\[1 = \frac{b}{b}\in \mathbb{K}\]
	任取正整数$m\in \mathbb{Z}^+$,有
	\[m = \underbrace{1+1+\cdots +1}_{m\text{个}1} \in \mathbb{K}\]
	根据封闭性有
	\[-m = 0-m \in \mathbb{K}\]
	正整数,负整数和0都在$\mathbb{K}$中,于是$\mathbb{Z}\subseteq  \mathbb{K}$.
	
	任取$\frac{n}{m}\in \mathbb{Q},n\in \mathbb{Z},m\in \mathbb{Z}^+$,由于
	\[n\in \mathbb{K},m\in \mathbb{K}\Longrightarrow \frac{n}{m}\in \mathbb{K} \]
	于是$\mathbb{Q}\subseteq  \mathbb{K}$.
\end{proof}

即有理数域是"最小"数域.





\section{向量}

\begin{definition}
	设 $\mathbb{K}$ 是一个数域,$a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $\mathbb{K}$ 中的元素,由 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 组成的有序数组 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 称为数域 $\mathbb{K}$ 上的一个 $n$ 维行向量.
\end{definition}

对这个定义,我们需要说明以下几点：

第一,我们称 $\alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 是 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维行向量.当然也有 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维列向量的概念.如果把 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 个数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 依次排成一列,就称为 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维列向量：
\[
\begin{pmatrix}
	a_1 \\
	a_2 \\
	\vdots \\
	a_n
\end{pmatrix}
\]

注意,我们不要把行向量与列向量混为一谈.即使一个行向量中的元素与一个列向量中的元素对应相等,我们也不认为它们是一回事.当然我们将会看到,行向量与列向量有相同的性质,这种相似性的本质我们将在后面加以阐明.在不引起混淆的情况下,行向量、列向量统称为向量.

第二,两个行向量 $\alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$,$\beta = (b_1, b_2, \cdots, b_n)$ 仅当 $a_i = b_i$ ($i = 1, 2, \cdots, n$) 时相等.如二维向量 $(1, 2)$ 与 $(2, 1)$ 是两个不同的向量,虽然它们都由 $1, 2$ 两个数组成.因此两个向量相等不仅要求它们的元素相同,而且要求元素出现的次序也相同.

第三,$n$ 维行向量也可以看成一个 $1 \times n$ 矩阵.$n$ 维列向量可以看成是一个 $n \times 1$ 矩阵.事实上我们确实可以这样看.




对数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维行向量（或 $n$ 维列向量）,我们可以定义加法、减法及数乘.这些定义与矩阵的相应运算的定义相同.

若 $\alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$,$\beta = (b_1, b_2, \cdots, b_n)$,定义
\[
\alpha + \beta = (a_1 + b1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n).
\]

\[
\alpha - \beta = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, \cdots, a_n - b_n).
\]

若 $k \in \mathbb{K}$,定义
\[
k \alpha = (k a_1, k a_2, \cdots, k a_n).
\]

由于 $\mathbb{K}$ 是数域,不难看出 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维行向量的和、差及数乘（该数取自 $\mathbb{K}$）仍然是 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维行向量.对列向量的加法、减法与数乘也可类似定义.从这里可以看出,如果把向量看成矩阵,其运算就是相应的矩阵运算.

若一个 $n$ 维向量的所有元素都等于零,就称之为零向量,记为 $0$.但需注意一个 $n$ 维行（列）零向量指的是一个 $1 \times n$（$n \times 1$）零矩阵.又若记 $-\alpha = (-a_1, -a_2, \cdots, -a_n)$,称 $-\alpha$ 为 $\alpha$ 的负向量.





\textbf{向量运算规则}

\begin{enumerate}[(1)]
	\item 加法交换律：$\alpha + \beta = \beta + \alpha$;
	\item 加法结合律：$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$;
	\item 零向量: $\alpha + 0 = \alpha$;
	\item 负向量: $\alpha + (-\alpha) = 0$;
	\item 数乘单位元: $1 \cdot \alpha = \alpha$;
	\item 数乘分配率(向量):$k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta, \quad k \in \mathbb{K}$;
	\item 数乘分配率(数):$(k + l)\alpha = k\alpha + l\alpha, \quad k, l \in \mathbb{K}$;
	\item 数乘结合律: $k(l\alpha) = (kl)\alpha$.
\end{enumerate}


数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维行向量全体组成的集合称为域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维行向量空间.$\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维列向量全体组成的集合称为 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维列向量空间.实数域 $\mathbb{R}$ 上的二维空间与三维空间就是我们所熟悉的平面及三维空间.




\section{线性空间}


在上一节中,我们定义了行向量空间及列向量空间的概念,它们可以看成是现实的实二维空间与实三维空间的推广．现在我们要做进一步的抽象,引进一般的向量空间的概念.

\begin{definition}[线性空间]
	设 $\mathbb{K}$ 是一个数域,$V$ 是一个集合,在 $V$ 上定义了一个加法“$+$”,即对 $V$ 中任意两个元素 $\alpha, \beta$,总存在 $V$ 中唯一的元素 $\gamma$ 与之对应,记为 $\gamma = \alpha + \beta$.在数域 $\mathbb{K}$ 与 $V$ 之间定义了一种运算,称为数乘,即对 $\mathbb{K}$ 中任一数 $k$ 及 $V$ 中任一元 $\alpha$,在 $V$ 中总有唯一的元素 $\delta$ 与之对应,记为 $\delta = k \alpha$.若上述加法及数乘满足下列运算规则：
	
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 加法交换律：$\alpha + \beta = \beta + \alpha$;
		\item 加法结合律：$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$;
		\item 在 $V$ 中存在一个元素 $0$,对于 $V$ 中任一向量 $\alpha$,都有 $\alpha + 0 = \alpha$;
		\item 对于 $V$ 中每个元素 $\alpha$,存在元素 $\beta$,使 $\alpha + \beta = 0$;
		\item $1 \cdot \alpha = \alpha$;
		\item $k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta$;
		\item $(k + l)\alpha = k\alpha + l\alpha$;
		\item $k(l\alpha) = (kl)\alpha$;
	\end{enumerate}
	
	其中 $\alpha, \beta, \gamma$ 是 $V$ 中任意的元素,$k, l$ 是 $\mathbb{K}$ 中任意的数,则集合 $V$ 称为数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间或向量空间.$V$ 中的元素称为向量,$V$ 中适合 (3) 的元素 $0$ 称为零向量.对 $V$ 中的元素 $\alpha$,适合 $\alpha + \beta = 0$ 的元素 $\beta$ 称为 $\alpha$ 的负向量,记为 $-\alpha$.
\end{definition}


我们先看几个线性空间的例子.



\begin{example}
	系数取自数域 $\mathbb{K}$ 上的一元多项式全体,记为 $\mathbb{K}[x]$,按照通常的方式定义两个多项式的加法（同次项系数相加）及一个数与一个多项式的数乘（将此数乘以多项式的每一个系数）,则不难验证 $\mathbb{K}[x]$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间.在 $\mathbb{K}[x]$ 中,取次数小于等于 $n$ 的多项式全体,记这个集合为 $\mathbb{K}_n[x]$,则 $\mathbb{K}_n[x]$ 也是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间.
\end{example}


\begin{example}
	闭区间 $[0, 1]$ 上的连续函数全体记为 $C[0, 1]$,将函数的加法及数乘定义为
	\[
	(f + g)(x) = f(x) + g(x); \quad (kf)(x) = kf(x),
	\]
	则 $C[0, 1]$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间.
\end{example}


\begin{example}
	数域 $\mathbb{K}$ 上 $m \times n$ 矩阵全体在矩阵的加法与数乘下也构成一个 $\mathbb{K}$ 上的线性空间.
\end{example}

\begin{example}
	复数域 $\mathbb{C}$ 可看成是实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间.这时 $\mathbb{C}$ 上向量的加法就是复数的加法.$\mathbb{R}$ 中元素对 $\mathbb{C}$ 中向量（即复数）的乘法就是通常的数的乘法.一般来说,若两个数域 $\mathbb{K}_1 \subseteq \mathbb{K}_2$,则 $\mathbb{K}_2$ 可以看成是 $\mathbb{K}_1$ 上的线性空间.向量就是 $\mathbb{K}_2$ 中的数,向量的加法就是数的加法,数乘就是 $\mathbb{K}_1$ 中的数乘以 $\mathbb{K}_2$ 中的数.特别地,数域 $\mathbb{K}$ 也可以看成是 $\mathbb{K}$ 自身上的线性空间.
\end{example}

我们称实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间为实线性空间,称复数域 $\mathbb{C}$ 上的线性空间为复线性空间.





从上面的例子可以看出,抽象线性空间概念的引入使我们扩大了视野,它把众多不同研究对象的共同特点用线性空间这一概念加以概括,从而极大地扩大了代数学理论的应用范围.在这一章里,我们将用线性空间的理论来进一步讨论线性方程组的解.线性空间的理论是线性代数的核心.

现在我们来研究线性空间的一些最基本的性质.

\begin{proposition}
	零向量是唯一的.
\end{proposition}
\begin{proof}
	假设 $0_1, 0_2$ 是线性空间 $V$ 中的两个零向量,则
	\[
	0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2.
	\]
	这就证明了唯一性.
\end{proof}

\begin{proposition}
	负向量也是唯一的.
\end{proposition}
\begin{proof}
	设 $\alpha$ 是 $V$ 中的向量,$\beta_1, \beta_2$ 也是 $V$ 中的向量,且
	\[
	\alpha + \beta_1 = 0, \quad \alpha + \beta_2 = 0,
	\]
	则
	\[
	\beta_1 = \beta_1 + 0 = \beta_1 + (\alpha + \beta_2) = (\beta_1 + \alpha) + \beta_2 = (\alpha + \beta_1) + \beta_2 = 0 + \beta_2 = \beta_2.
	\]
	这说明负向量是唯一的.
\end{proof}
 



\begin{proposition}
	 对任意的 $\alpha, \beta, \gamma \in V$,有
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 从 $\alpha + \beta = \alpha + \gamma$ 可推出 $\beta = \gamma$,即加法消去律成立；
		\item $0 \cdot \alpha = 0$,这里左边的 $0$ 表示数零,右边的 $0$ 表示零向量；
		\item $k \cdot 0 = 0$；
		\item $(-1)\alpha = -\alpha$；
		\item 若 $k\alpha = 0$,则 $\alpha = 0$ 或 $k = 0$.
	\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item $(-\alpha) + (\alpha + \beta) = (-\alpha) + (\alpha + \gamma)$,再由结合律得
		\[
		((-\alpha) + \alpha) + \beta = ((-\alpha) + \alpha) + \gamma,
		\]
		即
		\[
		0 + \beta = 0 + \gamma,
		\]
		于是 $\beta = \gamma$.
		\item $0 \cdot \alpha = (0 + 0) \alpha = 0 \cdot \alpha + 0 \cdot \alpha$,再由 (1) 两边消去 $0 \cdot \alpha$ 即得 $0 = 0 \cdot \alpha$.
		\item $k \cdot 0 = k(0 + 0) = k \cdot 0 + k \cdot 0$,两边消去 $k \cdot 0$ 即得 $0 = k \cdot 0$.
		\item $\alpha + (-1)\alpha = 1 \cdot \alpha + (-1)\alpha = (1 + (-1))\alpha = 0 \cdot \alpha = 0$,因此
		\[
		(-1)\alpha = -\alpha.
		\]
		\item 假定 $k \neq 0$ 且 $k\alpha = 0$,则 $k^{-1}$ 存在,故
		\[
		\alpha = (k^{-1} \cdot k)\alpha = k^{-1}(k\alpha) = k^{-1} \cdot 0 = 0. 
		\]
	\end{enumerate}
\end{proof}


\begin{remark}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 在 $V$ 中我们定义减法为
		\[
		\alpha - \beta = \alpha + (-1)\beta.
		\]
		由于消去律成立,$V$ 中元素的等式可以进行“移项”,因此,若
		\[
		\alpha + \beta = \gamma,
		\]
		则
		\[
		\alpha = \gamma - \beta,
		\]
		或
		\[
		\alpha + \beta - \gamma = 0,
		\]
		等等.在形式上与数的加减法运算完全一样.
		\item 由于 $V$ 中元素适合加法结合律,$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$,我们可以不用括号,直接把上述元素写为 $\alpha + \beta + \gamma$.一般地,几个向量相加,我们也可以不用括号,因为从结合律非常容易推出当几个向量相加时,相加的先后次序不影响最后的结果.比如 4 个向量做加法时,有
		\[
		((\alpha_1 + \alpha_2) + \alpha_3) + \alpha_4 = (\alpha_1 + \alpha_2) + (\alpha_3 + \alpha_4) = \alpha_1 + (\alpha_2 + (\alpha_3 + \alpha_4)).
		\]
		上述向量可写为 $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$.
	\end{enumerate}
	
\end{remark}



\section{向量的线性关系}


设有 $n$ 个未知数 $m$ 个方程式的线性方程组：

\begin{align}\label{eq:3.1}
	\begin{cases}
		a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\
		a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\
		\quad \vdots \\
		a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m.
	\end{cases}
\end{align}
这个方程组我们曾经用矩阵来表示过.现在我们要用向量来表示该方程组,设方程组的增广矩阵为


\[
\tilde{A} = \left( \begin{array}{cccc:c}
	a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\
	a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\
	\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
	a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{array} \right).
\]
分别用 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n, \beta$ 表示上述矩阵的列向量,即
\[
\alpha_1 = \left( \begin{array}{c}
	a_{11} \\
	a_{21} \\
	\vdots \\
	a_{m1}
\end{array} \right), \quad \alpha_2 = \left( \begin{array}{c}
	a_{12} \\
	a_{22} \\
	\vdots \\
	a_{m2}
\end{array} \right), \quad \cdots, \quad \alpha_n = \left( \begin{array}{c}
	a_{1n} \\
	a_{2n} \\
	\vdots \\
	a_{mn}
\end{array} \right); \quad \beta = \left( \begin{array}{c}
	b_1 \\
	b_2 \\
	\vdots \\
	b_m
\end{array} \right),
\]
则方程组\eqref{eq:3.1} 等价于下列向量形式的方程式：
\[
x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + \cdots + x_n \alpha_n = \beta.
\]



\begin{definition}[线性组合]
	设 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间,$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 和 $\beta$ 均是 $V$ 中的向量,若存在 $\mathbb{K}$ 中 $n$ 个数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$,使
	\[
	\beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_n \alpha_n,
	\]
	则称 $\beta$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 的线性组合或 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示.
\end{definition}


显而易见,方程组 \eqref{eq:3.1} 有解当且仅当向量 $\beta$ 可以表示为向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 的线性组合.


\begin{example}
	设 $e_1 = (1, 0, \cdots, 0), e_2 = (0, 1, \cdots, 0), \cdots, e_n = (0, 0, \cdots, 1)$ 是 $n$ 个 $n$ 维行向量（即 $n$ 维标准单位行向量）,则对任一 $n$ 维行向量 $\alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$,
	\[
	\alpha = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n,
	\]
	即任一 $n$ 维行向量 $\alpha$ 均可由 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 线性表示.
\end{example}



再看齐次线性方程组：
\begin{align}\label{eq:3.2}
	\begin{cases}
		a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0, \\
		a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0, \\
		\quad \vdots \\
		a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0.
	\end{cases}
\end{align}


这个方程组等价于下列向量形式的方程式：
\[
x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + \cdots + x_n \alpha_n = 0.
\]


\begin{definition}[线性相关]
	设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间,$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $V$ 中 $n$ 个向量,若存在 $\mathbb{K}$ 中不全为零的 $n$ 个数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$,使
	\[
	k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_n \alpha_n = 0,
	\]
	则称 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性相关.反之,若 $\mathbb{K}$ 中不存在不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$,使上述式成立,则称 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关或线性独立.
\end{definition}








于是,方程组 \eqref{eq:3.2}有非零解（即在解中至少有一个数不等于零）的充分必要条件是向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性相关.

\begin{remark}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 线性无关还可这样等价地定义：若存在 $k_1, k_2, \cdots, k_n \in \mathbb{K}$,使
		\[
		k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_n \alpha_n = 0,
		\]
		
		则必有 $k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0$.
		\item 在线性相关、线性无关的定义中,数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 必须取自数域 $\mathbb{K}$.举例来说,若把复数域看成是实数域上的线性空间,那么 $1$ 与 $i = \sqrt{-1}$ 是两个线性无关的向量,因为不存在不全为零的实数 $a, b$ 使 $a + bi = 0$.但是如果允许 $a, b$ 取复数,取 $a = 1, b = i$,就有 $a + bi = 0$.
	\end{enumerate}
\end{remark}
	


\begin{example}
	$n$维标准行向量 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 线性无关.
\end{example}
\begin{proof}
	 假定
	\[
	k_1 e_1 + k_2 e_2 + \cdots + k_n e_n = 0,
	\]
	则 $(k_1, k_2, \cdots, k_n) = 0$,因此 $k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0$,这 $n$ 个向量线性无关.
\end{proof}



\begin{example}
	设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间,若 $S$ 是只含一个向量 $\alpha$ 的向量组,则 $S$ 线性相关的充分必要条件是 $\alpha = 0$.又若 $S$ 是含有零向量的向量组,则 $S$ 必线性相关.
\end{example}
\begin{proof}
	从 $k \alpha = 0$ 及 $k \neq 0$ 可推出 $\alpha = 0$,反之亦然.因此单个向量 $\alpha$ 线性相关的充分必要条件是 $\alpha = 0$.
	
	设 $0, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是一个向量组,则
	\[
	1 \cdot 0 + 0 \cdot \alpha_2 + \cdots + 0 \cdot \alpha_m = 0,
	\]
	即这组向量线性相关.
\end{proof}







\begin{theorem}
	若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是一组线性相关的向量,则任一包含这组向量的向量组必线性相关.又若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是一组线性无关的向量,则从这一组向量中任意取出 $n$ 组向量必线性无关.
\end{theorem}

\begin{proof}
	设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m, \alpha_{m+1}, \cdots, \alpha_n$ 是包含 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 的一组向量.若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关,则存在不全为零的一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$,使
	\[
	k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_m \alpha_m = 0.
	\]
	令 $k_{m+1} = \cdots = k_n = 0$,则仍有
	\[
	k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_m \alpha_m + k_{m+1} \alpha_{m+1} + \cdots + k_n \alpha_n = 0.
	\]
	因此 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性相关.
	
	第二个结论是第一个结论的逆否命题,显然成立.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{theorem:3.3}
	设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是线性空间 $V$ 中的向量,则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合.
\end{theorem} 

\begin{proof}
	设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关,则存在不全为零的一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$,使
	\[
	k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_m \alpha_m = 0,
	\]
	其中有某个 $k_i \neq 0$.于是
	\[
	\alpha_i = -\frac{k_1}{k_i} \alpha_1 - \cdots - \frac{k_{i-1}}{k_i} \alpha_{i-1} - \frac{k_{i+1}}{k_i} \alpha_{i+1} - \cdots - \frac{k_m}{k_i} \alpha_m,
	\]
	即 $\alpha_i$ 是其余 $m-1$ 个向量的线性组合.
	
	反过来,若
	\[
	\alpha_i = b_1 \alpha_1 + \cdots + b_{i-1} \alpha_{i-1} + b_{i+1} \alpha_{i+1} + \cdots + b_m \alpha_m,
	\]
	则
	\[
	b_1 \alpha_1 + \cdots + b_{i-1} \alpha_{i-1} + (-1) \alpha_i + b_{i+1} \alpha_{i+1} + \cdots + b_m \alpha_m = 0,
	\]
	即 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关.
\end{proof}

 



\begin{theorem}
	设$V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间,$\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_n,\beta \in V$,设$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$线性无关,则$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n,\beta$线性无关或者$\beta$是$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$的线性组合.
\end{theorem}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item 当$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n,\beta$线性无关时证毕.
		\item 若$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n,\beta$线性相关,则存在不全为零的$k_1,k_2,\cdots ,k_{n+1}$使得
		\[k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_n \alpha_n+k_{n+1} \beta = 0,\]
		可以断言$k_{n+1} = \neq 0$.
		
		假设$k_{n+1} = 0$,则有
		$$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_n \alpha_n = 0$$
		由于$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$线性无关可知$k_1 = \cdots k_n = 0$.这与$k_1,k_2,\cdots ,k_{n+1}$不全为零矛盾,于是$k_{n+1} \neq 0$.
		
		于是有
		\[\beta = -\frac{k_1}{k_{n+1}}\alpha_1-\cdots -\frac{k_n}{k_{n+1}}\alpha_n \]
	\end{itemize}
\end{proof}


\begin{theorem}
	设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m, \beta$ 是线性空间 $V$ 中的向量.已知 $\beta$ 可表示为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 的线性组合,即
	\[
	\beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_m \alpha_m,
	\]
	则表示唯一的充分必要条件是向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关.
\end{theorem}

\begin{proof}
	假定向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关且另外有一个表示：
	\[
	\beta = b_1 \alpha_1 + b_2 \alpha_2 + \cdots + b_m \alpha_m,
	\]
	则将已知的两个表示式相减得到：
	\[
	(b_1 - k_1) \alpha_1 + (b_2 - k_2) \alpha_2 + \cdots + (b_m - k_m) \alpha_m = 0.
	\]
	因为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关,故 $b_1 - k_1 = 0, b_2 - k_2 = 0, \cdots, b_m - k_m = 0$,即 $b_1 = k_1, b_2 = k_2, \cdots, b_m = k_m$.也就是说 $\beta$ 只能用唯一一种方式表示为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 的线性组合.
	
	反之,若向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关,即存在不全为零的数 $c_1, c_2, \cdots, c_m$,使得
	\[
	c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 + \cdots + c_m \alpha_m = 0,
	\]
	则除了已知的表示外,$\beta$ 还有另外一个不同的表示：
	\[
	\beta = (k_1 + c_1) \alpha_1 + (k_2 + c_2) \alpha_2 + \cdots + (k_m + c_m) \alpha_m.
	\]
	其中,存在$1\le i\le m$使得$k_1+c_i \neq 0$.
\end{proof}
 
 
 \begin{remark}
 	 由上述定理知道,方程组 \eqref{eq:3.1} 有唯一解的充分必要条件是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关.
 \end{remark}






\begin{theorem}[线性组合的传递性]\label{theorem:3.6}
	 设向量组 $A = \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\}$,$B = \{\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\}$ 和 $C = \{\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_p\}$ 满足：$A$ 中任一向量都是 $B$ 中向量的线性组合,$B$ 中任一向量都是 $C$ 中向量的线性组合,则 $A$ 中任一向量都是 $C$ 中向量的线性组合.
\end{theorem}
\begin{proof}
	设
	\[
	\alpha_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \beta_j \ (1 \leq i \leq m); \quad \beta_j = \sum_{k=1}^{p} b_{jk} \gamma_k \ (1 \leq j \leq n),
	\]
	则可得
	\[
	\alpha_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \left( \sum_{k=1}^{p} b_{jk} \gamma_k \right) = \sum_{k=1}^{p} \left( \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} \right) \gamma_k,
	\]
	即任一 $\alpha_i$ 都是 $\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_p$ 的线性组合.
\end{proof}


\begin{example}
	若 $\alpha = (a_1, a_2, \cdots, a_n)$,$\beta = (b_1, b_2, \cdots, b_n)$ 是两个 $n$ 维向量,则 $\alpha, \beta$ 线性相关的充分必要条件是 $a_i, b_i$ 成比例.
\end{example}
\begin{proof}
	假定 $\alpha, \beta$ 线性相关,由定理\ref{theorem:3.3} 不妨设 $\beta$ 是 $\alpha$ 的线性组合.令 $\beta = k \alpha$,则
	\[
	(ka_1, ka_2, \cdots, ka_n) = (b_1, b_2, \cdots, b_n).
	\]
	因此 $ka_i = b_i$,即 $a_i, b_i$ 成比例.
	
	反之,若 $ka_i = b_i$,则 $k \alpha - \beta = 0$,即 $\alpha, \beta$ 线性相关.
\end{proof}



\section{向量组的秩}\label{section:3.5}

一般来说,给定一组向量,如果线性相关,这时必有某个向量可以用其余向量线性表示,我们将它去掉．不断地重复这个过程直到剩下的向量线性无关为至,剩下的向量就称为原向量组的极大无关组．我们给它下一个严格的定义.

\begin{definition}[极大线性无关组]
	 设在线性空间 $V$ 中有一族向量 $S$（其中可能只有有限个向量,也可能有无限多个向量）,如果在 $S$ 中存在一组向量 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\}$ 适合如下条件：
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性无关；
		\item 这族向量中的任意一个向量都可以用 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示,
	\end{enumerate}
	那么称 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\}$ 是向量族 $S$ 的极大线性无关组,简称极大无关组.
	
\end{definition}
\begin{remark}
	上述定义 (2) 表明若将 $S$ 中任一向量 $\alpha$ 加入 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\}$,则向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r, \alpha\}$ 一定线性相关.正是在这个意义上,我们称 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\}$ 为极大线性无关组.
\end{remark}




\begin{proposition}\label{proposition:3.5}
	设 $S$ 是有限个向量组成的向量族且至少含一个非零向量,则 $S$ 的极大无关组一定存在.
\end{proposition}
\begin{proof}
	设 $S$ 所含向量的个数为 $k$,对 $k$ 用归纳法进行证明.
	
	若 $k = 1$,则由假设知 $S$ 由一个非零向量 $\alpha$ 组成,于是 $\{\alpha\}$ 就是 $S$ 的极大无关组.一般地,若 $S$ 中的 $k$ 个向量线性无关,那么这 $k$ 个向量就构成了 $S$ 的极大无关组.
	
	若这 $k$ 个向量线性相关,由定理 \ref{theorem:3.3} 知至少有一个向量是其余向量的线性组合,不妨设为 $\alpha$.
	
	考虑向量组 $S \setminus \{\alpha\}$,它所含向量的个数为 $k - 1$ 且至少包含一个非零向量（否则容易推出 $S$ 只包含零向量）,由归纳假设知 $S \setminus \{\alpha\}$ 存在极大无关组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\}$.由定理 \ref{theorem:3.6} (线性组合的传递性)知 $\alpha$ 也可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示,因而 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\}$ 也是 $S$ 的极大无关组.
\end{proof}



一个向量族的极大无关组唯一吗？我们来看一个简单的例子.

\begin{example}\label{example:3.9}
	设有向量组 $S = \{(1,0), (0,1), (1,1)\}$.这 3 个向量线性相关,但 $S$ 的 3 个子集 $\{(1,0), (0,1)\}$；$\{(1,0), (1,1)\}$ 以及 $\{(0,1), (1,1)\}$ 不难验证都是 $S$ 的极大无关组.因此一般来说,向量族的极大无关组并不唯一.
\end{example}



虽然极大无关组不唯一,但是我们在例 \ref{example:3.9} 中发现,向量组 $S$ 的每个极大无关组所含向量的个数是相同的.我们要问：这个结论对一般的向量组还对吗？

我们不妨来分析一下：假定已知向量族 $S$ 有两个极大无关组 $A, B$.由极大无关组的定义,$A$ 和 $B$ 都是线性无关的向量组且 $A$ 中每个向量可以用 $B$ 中向量线性表示,$B$ 中每个向量也可以用 $A$ 中向量线性表示.我们希望证明：两个线性无关的向量组如果能够互相线性表示,则它们含有相同个数的向量.这只需证明如下命题.

\begin{lemma}\label{lemma:3.1}
	设 $A, B$ 是 $V$ 中两组向量,$A$ 含有 $r$ 个向量,$B$ 含有 $s$ 个向量.如果 $A$ 中向量线性无关且 $A$ 中每个向量均可用 $B$ 中向量线性表示,则 $r \leq s$.
\end{lemma}

\begin{proof}
	我们用反证法.设
	\[
	A = \{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\},
	\]
	\[
	B = \{\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s\}.
	\]
	假定 $r > s$,我们来推出矛盾.
	
	由已知,$A$ 中向量 $\alpha_1$ 可由 $B$ 中向量的线性组合来表示,即存在数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$,使
	\[
	\alpha_1 = \lambda_1 \beta_1 + \lambda_2 \beta_2 + \cdots + \lambda_s \beta_s. 
	\]
	因为 $A$ 中向量线性无关,故 $\alpha_1 \neq 0$,从而 $\lambda_i$ 中至少有一个不为零,不妨假定 $\lambda_1 \neq 0$.由 上 式解出 $\beta_1$：
	\[
	\beta_1 = \frac{1}{\lambda_1} \alpha_1 - \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \beta_2 - \cdots - \frac{\lambda_s}{\lambda_1} \beta_s. 
	\]
	但对任意的 $\alpha_i (i = 2, 3, \cdots, r)$,已知 $\alpha_i$ 可由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 的线性组合表示,将 上式代入 $\alpha_i$ 的表示式中,则 $\alpha_i$ 可由 $\alpha_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 的线性组合表示.这样,我们可将 $B$ 组向量中的 $\beta_1$ 换成 $\alpha_1$(线性组合的传递性),这时 $A$ 组中任一向量仍可用 $B$ 组向量的线性组合表示.
	
	现在我们用归纳法,设 $B$ 组向量已经换成 $\{\alpha_1, \cdots, \alpha_k; \beta_{k+1}, \cdots, \beta_s\}$ 且 $A$ 中任一向量都可以用 
	
	$\{\alpha_1, \cdots, \alpha_k; \beta_{k+1}, \cdots, \beta_s\}$ 的线性组合表示,假设 $k < r$,则 $\alpha_{k+1}$ 可表示为
	\[
	\alpha_{k+1} = \mu_1 \alpha_1 + \cdots + \mu_k \alpha_k + \mu_{k+1} \beta_{k+1} + \cdots + \mu_s \beta_s,
	\]
	其中至少有一个 $\mu_i (i = k+1, \cdots, s)$ 不为零.这是因为若 $\mu_{k+1} = \cdots = \mu_s = 0$,则 $\alpha_{k+1}$ 将可用 $\{\alpha_1, \cdots, \alpha_k\}$ 线性表示,这与 $A$ 组向量线性无关矛盾.不失一般性,可设 $\mu_{k+1} \neq 0$.用与上述相同的方法,又可将 $\beta_{k+1}$ 换成 $\alpha_{k+1}$,得到向量组 $\{\alpha_1, \cdots, \alpha_{k+1}; \beta_{k+2}, \cdots, \beta_s\}$,且 $A$ 中任一向量均可表示为这组向量的线性组合.这一事实表明,我们可将 $A$ 中向量依次换入 $B$.但 $r > s$,因此可将 $A$ 中 $s$ 个向量换入 $B$ 组.不妨设 $B$ 已换入后的向量组为 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\}$,则 $A$ 中向量 $\alpha_i$ 可用 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s\}$ 的线性组合来表示,从而向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s, \alpha_r\}$ 线性相关, 引出矛盾.
\end{proof}


\begin{corollary}\label{corollary:3.1}
	“多”的向量组若可以用“少”的向量组来线性表示,则“多”的向量组线性相关.
\end{corollary}
\begin{proof}
	上述引理的逆否命题,一定成立.
\end{proof}


\begin{lemma}\label{lemma:3.2}
	设 $A, B$ 都是线性无关的向量组,又 $A$ 中任一向量可用 $B$ 中向量的线性组合来表示,$B$ 中任一向量也可用 $A$ 中向量的线性组合来表示,则这两组向量所含的向量个数相等.
\end{lemma}
\begin{proof}
	设 $A$ 有 $r$ 个向量,$B$ 有 $s$ 个向量.由引理 \ref{lemma:3.1} 得 $r \leq s$.同理又有 $s \leq r$,故 $r = s$.
\end{proof}


\begin{theorem}
	设 $A$ 与 $B$ 都是向量族 $S$ 的极大线性无关组,则 $A$ 与 $B$ 所含的向量个数相等.
\end{theorem}
\begin{proof}
	根据极大线性无关组的定义可知$A,B$线性无关,并且可以互相线性表示,根据引理\ref{lemma:3.2}知$A$ 与 $B$ 所含的向量个数相等.
\end{proof}





\begin{definition}[秩]
	向量族 $S$ 的极大无关组所含的向量个数称为 $S$ 的秩,记做 $\text{rank}(S)$ 或 $r(S)$.
\end{definition}


向量族的秩可以看成是向量族线性无关程度的度量.





\begin{definition}
	若向量组 $A$ 和 $B$ 可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.
\end{definition}


\begin{theorem}
	等价的向量组有相同的秩.
\end{theorem}

\begin{proof}
	设 $r(A) = r, r(B) = s, A_1$ 和 $B_1$ 分别是 $A$ 和 $B$ 的极大无关组,则 $A_1$ 有 $r$ 个向量,$B_1$ 有 $s$ 个向量.因为 $A$ 中向量均可用 $A_1$ 中向量线性表示,故由定理  \ref{theorem:3.6} (线性组合的传递性),$B_1$ 中向量均可用 $A_1$ 中向量线性表示,于是 $s \leq r$.同理 $A_1$ 中向量均可用 $B_1$ 中向量线性表示,故 $r \leq s$,于是 $r = s$.
\end{proof}







如果我们考虑的向量族是整个的线性空间,其极大无关组就是所谓的基.

\begin{definition}[基+有限维线性空间]
	设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间,若在 $V$ 中存在线性无关的向量 $e_1, e_2, \cdots, e_n$,使得 $V$ 中任一向量均可表示为这组向量的线性组合,则称 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基,线性空间 $V$ 称为 $n$ 维线性空间（具有维数 $n$）.如果不存在有限个向量组成 $V$ 的一组基,则称 $V$ 是无限维线性空间.
\end{definition}

\begin{remark}
	对任一无限维线性空间,也有基的概念.无限维线性空间基的存在性证明超出了本课程的范围.
\end{remark}


显然,$V$ 中的一组极大线性无关组就是 $V$ 的一组基.$n$ 维线性空间任一组基都含有 $n$ 个向量.如果 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间,则记之为 $\dim_{\mathbb{K}} V = n$.




\begin{example}
	$n$ 维标准单位行向量 $\{e_1 = (1, 0, \cdots, 0), e_2 = (0, 1, \cdots, 0), \cdots, e_n = (0, 0, \cdots, 1)\}$ 是 $n$ 维行向量空间 $\mathbb{K}^n$ 的一组基,因此 $\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{K}^n = n$.同理,$n$ 维标准单位列向量 $\{e_1', e_2', \cdots, e_n'\}$ 是 $n$ 维列向量空间 $\mathbb{K}_n$ 的一组基,因此 $\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{K}_n = n$.
\end{example}




\begin{example}
	将复数域 $\mathbb{C}$ 看成是实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间,容易验证 $\{1, i = \sqrt{-1}\}$ 是一组基,因此 $\dim_{\mathbb{R}} \mathbb{C} = 2$.
\end{example}




\begin{corollary}
	$n$ 维线性空间 $V$ 中任一超过 $n$ 个向量的向量组必线性相关.
\end{corollary}
\begin{proof}
	设 $V$ 的一组基为 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$,且 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 为 $V$ 中 $m (m > n)$ 个向量,则 $\alpha_i$ 均可由 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 的线性组合来表示,由引理 \ref{lemma:3.1} 的逆否命题(推论\ref{corollary:3.1})知 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关.
\end{proof}





\begin{theorem}\label{theorem:3.9}
	设 $V$ 是 $n$ 维线性空间,$e_1, e_2, \cdots, e_n$ 是 $V$ 中 $n$ 个向量.若它们适合下列条件之一,则 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基.
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 线性无关；
		\item $V$ 中任一向量均可由 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 线性表示.
	\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 因为 $V$ 中任意 $n+1$ 个向量一定线性相关,故对 $V$ 中任一向量 $v$,向量组 $e_1, e_2, \cdots, e_n, v$ 线性相关.于是存在不全为零的数 $a_1, a_2, \cdots, a_n, c$,使
		\[
		a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n + cv = 0,
		\]
		其中 $c \neq 0$.事实上若 $c = 0$,因为 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 线性无关,将导致 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = c = 0$,与假设矛盾.由 $c \neq 0$,可得
		\[
		v = -\frac{a_1}{c} e_1 - \frac{a_2}{c} e_2 - \cdots - \frac{a_n}{c} e_n.
		\]
		因此 $v$ 可用向量组 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 线性表示,即 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基.
		\item 由命题\ref{proposition:3.5},不妨设 $\{e_1, e_2, \cdots, e_r\}$ 是 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 的极大无关组,其中 $r < n$.由定理\ref{theorem:3.6}(线性组合的传递性\footnote{$V$ 中任一向量均可由 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 线性表示,同时$e_i$又可以由$e_1,e_2,\cdots,e_r$线性表示.})知 $V$ 中任一向量均可由 $e_1, e_2, \cdots, e_r$ 线性表示,因此 $\{e_1, e_2, \cdots, e_r\}$ 是 $V$ 的一组基\footnote{根据基的定义,既线性无关又能张成$V$.}.特别地,$r = \dim V = n$,即 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基.
	\end{enumerate}
	
\end{proof}

\begin{note}
	先假设(1)成立推(2);再假设(2)成立,推(1).
\end{note}









\begin{theorem}
	设 $V$ 是 $n$ 维线性空间,$v_1, v_2, \cdots, v_m$ 是 $V$ 中 $m (m < n)$ 个线性无关的向量,又假定 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 是 $V$ 的一组基,则必可在 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 中选出 $n - m$ 个向量,使之和 $v_1, v_2, \cdots, v_m$ 一起组成 $V$ 的一组基.
\end{theorem}

\begin{proof}
	将 $e_i (i = 1, \cdots, n)$ 依次放入 $\{v_1, v_2, \cdots, v_m\}$,则必有一个 $e_i$ 使 $v_1, v_2, \cdots, v_m, e_i$ 线性无关.这是因为若任一 $e_i$ 加入 $v_1, v_2, \cdots, v_m$ 后线性相关,则每个 $e_i$ 可用 $v_1, v_2, \cdots, v_m$ 线性表示,将和引理\ref{lemma:3.1} 的结论矛盾\footnote{$A$任一向量可以用$B$线性表示且$A$线性无关,则$A$的基数$\le B$的基数.}.现不妨设 $i = m + 1$.若 $m + 1 < n$,又可从 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 中找到一个向量,加入 $\{v_1, v_2, \cdots, v_m, e_{m+1}\}$ 后仍线性无关.不断这样做下去,便可将 $v_1, v_2, \cdots, v_m$ 扩张成为 $V$ 的一组基.
\end{proof}



\begin{remark}
	上述定理通常称为基扩张定理,常用的形式是：$n$ 维线性空间 $V$ 中任意 $m (m < n)$ 个线性无关的向量均可扩张为 $V$ 的一组基,或 $V$ 的任意一个子空间（子空间的概念见 \S 3.9）的基均可扩张为 $V$ 的一组基.
\end{remark}





\section{矩阵的秩}


\begin{definition}[行秩和列秩]
	设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,则 $A$ 的 $m$ 个行向量的秩称为 $A$ 的行秩；$A$ 的 $n$ 个列向量的秩称为 $A$ 的列秩.
\end{definition}


\begin{remark}
	我们很快将证明矩阵的行秩等于它的列秩.
\end{remark}


我们在 \S \ref{section:3.5} 开始时,从线性方程组引出了向量组秩的概念.我们注意到,交换线性方程组中的方程式,用非零常数乘以某一个方程式以及某个方程式乘以一个常数加到另外一个方程式上去这 3 种变换并不改变线性方程组的同解性.所以我们有理由猜想：矩阵的行秩和列秩在初等变换下是不变的.

\begin{theorem}\label{theorem:3.11}
	矩阵的行秩与列秩在初等变换下不变.
\end{theorem}

\begin{proof}
	我们分两步走.第一步证明矩阵的行秩在行初等变换下不变,列秩在列初等变换下不变.第二步证明列秩在行初等变换下不变,行秩在列初等变换下不变.
	
	第一步,设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$,为简单起见将它写成分块的形状：
	\[
	A = \begin{pmatrix}
		\alpha_1 \\
		\alpha_2 \\
		\vdots \\
		\alpha_m
	\end{pmatrix},
	\]
	其中 $\alpha_i = (a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in}) (i = 1, 2, \cdots, m)$ 是 $A$ 的第 $i$ 个行向量.对换 $A$ 的任意两行并不改变 $A$ 的行向量组,因此也不改变 $A$ 的行秩.这表明 $A$ 在第一种行初等变换下行秩不变.又若以一个非零常数 $k$ 乘以 $A$ 的第 $i$ 行,则 $A$ 变成：
	\[
	A_1 = \begin{pmatrix}
		\alpha_1 \\
		\vdots \\
		k\alpha_i \\
		\vdots \\
		\alpha_m
	\end{pmatrix}.
	\]
	显然,$A_1$ 的 $m$ 个行向量可用 $A$ 的 $m$ 个行向量的线性组合来表示.反之 $A$ 的 $m$ 个行向量也可用 $A_1$ 的行向量的线性组合来表示,因此 $A$ 的行秩与 $A_1$ 的行秩相同.
	
	接下来再看第三种行初等变换.将矩阵 $A$ 的第 $i$ 行乘以 $k$ 后加到第 $j$ 行上去,矩阵 $A$ 变成了下列矩阵：
	\[
	A_2 = \begin{pmatrix}
		\alpha_1 \\
		\vdots \\
		\alpha_i \\
		\vdots \\
		k\alpha_i + \alpha_j \\
		\vdots \\
		\alpha_m
	\end{pmatrix}.
	\]
	显然,$A_2$ 的行向量是 $A$ 的行向量的线性组合.反之,
	\[
	\alpha_j = (-k)\alpha_i + (k\alpha_i + \alpha_j).
	\]
	因此 $A$ 的行向量也是 $A_2$ 的行向量的线性组合,从而 $A$ 与 $A_2$ 的行秩相等.这就证明了 $A$ 的行秩在初等行变换下不变.同理,$A$ 的列秩在初等列变换下也不变.
	
	第二步,我们证明 $A$ 的列秩在初等行变换下不变.由于 $A$ 的初等行变换等价于用一个初等矩阵左乘以 $A$,我们只需证明对任一初等矩阵 $Q$,$QA$ 与 $A$ 的列秩相等就可以了.现把 $A$ 写成列分块形状：
	\[
	A = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n),
	\]
	其中 $\beta_j$ 是 $A$ 的第 $j$ 个列向量.由分块矩阵的乘法得
	\[
	QA = (Q\beta_1, Q\beta_2, \cdots, Q\beta_n).
	\]
	设 $A$ 的列向量的极大无关组为 $\beta_{j_1}, \cdots, \beta_{j_r}$,现在我们证明 $\{Q\beta_{j_1}, \cdots, Q\beta_{j_r}\}$ 是 $QA$ 的列向量的极大无关组.
	
	先证明 $Q\beta_{j_1}, \cdots, Q\beta_{j_r}$ 线性无关.设有 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r \in \mathbb{K}$,使
	\[
	\lambda_1 Q\beta_{j_1} + \lambda_2 Q\beta_{j_2} + \cdots + \lambda_r Q\beta_{j_r} = 0,
	\]
	则
	\[
	Q(\lambda_1 \beta_{j_1} + \lambda_2 \beta_{j_2} + \cdots + \lambda_r \beta_{j_r}) = 0.
	\]
	但 $Q$ 是非异阵,在上述两边左乘 $Q^{-1}$ 即得
	\[
	\lambda_1 \beta_{j_1} + \lambda_2 \beta_{j_2} + \cdots + \lambda_r \beta_{j_r} = 0.
	\]
	再由 $\beta_{j_1}, \cdots, \beta_{j_r}$ 线性无关即得 $\lambda_1 = \cdots = \lambda_r = 0$.这就证明了 $Q\beta_{j_1}, \cdots, Q\beta_{j_r}$ 是一组线性无关的向量.
	
	再证明任一 $Q\beta_j$ 均可表示为 $Q\beta_{j_1}, \cdots, Q\beta_{j_r}$ 的线性组合.由于 $\beta_{j_1}, \cdots, \beta_{j_r}$ 是 $A$ 的列向量的极大无关组,故
	\[
	\beta_j = \mu_1 \beta_{j_1} + \mu_2 \beta_{j_2} + \cdots + \mu_r \beta_{j_r}.
	\]
	上式两边左乘 $Q$ 即得：
	\[
	Q\beta_j = \mu_1 Q\beta_{j_1} + \mu_2 Q\beta_{j_2} + \cdots + \mu_r Q\beta_{j_r}.
	\]
	由上面的论证知道 $A$ 与 $QA$ 的列向量的极大无关组都有相同个数的向量,因此 $A$ 与 $QA$ 的列秩相等.同理可证明 $A$ 的行秩在初等列变换下不变.
\end{proof}





\begin{corollary}
	设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵且 $A$ 的第 $j_1, \cdots, 第 j_r$ 列向量是 $A$ 的列向量的极大无关组,则对任意的 $m$ 阶非异阵 $Q$,矩阵 $QA$ 的第 $j_1, \cdots, 第 j_r$ 列向量也是 $QA$ 的列向量的极大无关组.
\end{corollary}
\begin{proof}
	非奇异阵 $Q$是若干个初等矩阵的乘积(定理\ref{theorem:2.8}),根据上述定理的证明即可得到.
\end{proof}


\begin{note}
	即初等行变换并不改变极大无关组的列指标.
\end{note}



\begin{theorem}\label{theorem:3.12}
	任一矩阵的行秩等于列秩.
\end{theorem}
\begin{proof}
	任一矩阵 $A$ 经初等变换后均可变成下列分块对角矩阵：
	\[
	B = \begin{pmatrix}
		I_r & O \\
		O & O
	\end{pmatrix},
	\]
	其中 $B$ 是分块矩阵,$I_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵.显然,$B$ 的行秩与列秩都等于 $r$,因此 $A$ 的行秩与列秩都等于 $r$.
	
	
\end{proof}


有了这个推论,我们今后不再讲行秩与列秩,统称为秩.矩阵 $A$ 的秩用 $r(A)$ 或 rank $A$ 来表示.


\begin{corollary}
	任一矩阵 $A$ 的转置 $A'$ 与 $A$ 有相同的秩.
\end{corollary}

\begin{proof}
	$r(A) = A$的行秩 = $A'$的列秩 = $r(A')$.
\end{proof}


\begin{corollary}\label{corollary:3.5}
	对任意一个秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵 $A$,总存在 $m$ 阶非异阵 $P$ 和 $n$ 阶非异阵 $Q$,使得
	\[
	r(A) = r(PAQ).
	\]
\end{corollary}
\begin{proof}
	由于非奇异阵可以写为若干个初等矩阵的乘积,故有
	\[P = P_1P_2\cdots P_s,\quad Q = Q_1Q_2\cdots Q_t,\]
	根据定理\ref{theorem:3.11}(初等变换不改变矩阵的秩)可知$r(A) = r(PAQ).$
\end{proof}





\begin{corollary}\label{corollary:3.6}
	对任意一个秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵 $A$,总存在 $m$ 阶非异阵 $P$ 和 $n$ 阶非异阵 $Q$,使得
	\[
	PAQ = \begin{pmatrix}
		I_r & O \\
		O & O
	\end{pmatrix}. 
	\]
\end{corollary}
通过该推论回答了第二章中相抵标准型的$r$不依赖与初等变换的选取.






\begin{corollary}
两个 $m \times n$ 矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的秩.
\end{corollary}
\begin{proof}
先证充分性,设矩阵$A,B$且有$r(A) = r(B) = r$,
则有
\[A \sim \begin{pmatrix}
	I_r & O \\
	O & O
\end{pmatrix},\quad B \sim \begin{pmatrix}
I_r & O \\
O & O
\end{pmatrix}\]
由于相抵关系是一种等价关系,具有传递性,即有$A\sim B$.

再证必要性,若$A\sim B$,根据相抵(等价)的定义\footnote{经过有限次初等变换后相同}和定理\ref{theorem:3.11}(初等变换不改变矩阵的秩)有
$r(A) = r(B)$.
\end{proof}




\begin{definition}[行满秩阵和列满秩阵]
		设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵,若$r(A) = m \Longleftrightarrow m$个行向量线性无关,则称$A$为行满秩阵;相应的,若若$r(A) = n \Longleftrightarrow n$个列向量线性无关,则称$A$为列 满秩阵.
		
		特别地,当 $m = n$时,$r(A) =n\Longleftrightarrow n$个行向量线性无关并且$n$个列向量线性无关,此时称$A$为满秩阵.
\end{definition}









\begin{corollary}\label{corollary:3.8}
	\(n\) 阶方阵 \(\mathbf{A}\) 为非异阵的充分必要条件是 \(\mathbf{A}\) 为满秩阵.
\end{corollary}
\begin{proof}
	
	充分性,若\(\mathbf{A}\) 为满秩阵,根据推论\ref{corollary:3.6}可知$\mathbf{A}\sim \mathbf{I}_{n} $,根据定理\ref{theorem:2.8}($A$可逆则$A\sim I_n$)可知$\mathbf{A}$为非奇异阵.
	
	必要性,若 \(\mathbf{A}\) 为非异阵,
	则由推论\ref{corollary:3.5} 可得 \(\mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right) = \mathrm{r}\left( {\mathbf{A}{\mathbf{I}}_{n}}\right) = \mathrm{r}\left( {\mathbf{I}}_{n}\right) = n\) , 即 \(\mathbf{A}\) 为满秩阵. 
\end{proof}
	
\begin{note}
	必要性证明中,将$A$看作非奇异阵,$I_n$看作本来要求秩的矩阵,乘上非奇异矩阵并不改变矩阵的秩.
\end{note}


\begin{lemma}
	设$A = \{ \beta_1,\beta_2,\cdots,b_n\},\mathrm{r}(A) = r$,则$\{\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r} \}$满足下列条件之一,则$\{\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r} \} $是$A$的极大无关组.
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item $\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}$线性无关;
		\item $\forall \beta_j$都可由$\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}$线性表示.
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	由于$\mathrm{r}(A) = r$,即$A$的列向量的极大无关组的个数为$r$,则$A$中任意$r+1$个向量必线性相关.
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 即$\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r},\beta_j $线性相关,则存在不全为零的数$a_1,a_2,\cdots a_r,c$使得
		\[a_1 \beta_{i_1}+\cdots +a_r\beta_{i_r}+c\beta_j = 0\]
		其中$c\neq 0$,于是有
		\[\beta_j = -\frac{a_1}{c}\beta_{i_1}-\cdots -\frac{a_r}{c}\beta_{i_r}\]
		即$\forall \beta_j$都可由$\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}$线性表示.
		\item 
	\end{enumerate}
\end{proof}






\begin{proposition}
	设 $A$ 是阶梯形矩阵,则 $A$ 的秩等于其非零行的个数,且阶梯点所在的列向量是 $A$ 的列向量的极大无关组.
\end{proposition}

\begin{proof}
	设阶梯形矩阵 $A$ 有 $r$ 个非零行,其阶梯点依次是 $a_{1k_1}, a_{2k_2}, \cdots, a_{rk_r}$：
	\[
	A = \begin{pmatrix}
		0 & \cdots & 0 & a_{1k_1} & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots  \\
		0 & \cdots & 0 & 0 & a_{2k_2} & \cdots & \cdots & \cdots  \\
		\vdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \cdots & \cdots \\
		0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{rk_r} & \cdots \\
		&	&	&	&\Huge{O}	&	&	&	
	\end{pmatrix}.
	\]
	先用第三类初等列变换以及阶梯点上的元素依次消去同行的其他非零元素；再用第二类初等列变换将阶梯点上的元素全部变成1；最后用列对换依次将 $r$ 个阶梯点换到第 $(1,1), (2,2), \cdots, (r,r)$ 位置,从而得到相抵标准型：
	\[
	\begin{pmatrix}
		I_r & O \\
		O & O
	\end{pmatrix}.
	\]
	由定理 \ref{theorem:3.11} 可得 $r(A) = r$.
	
	对于第二个结论,将 $r$ 个阶梯点所在的列向量取出,拼成一个新的矩阵：
	\[
	\begin{pmatrix}
		a_{1k_1} & \cdots & \cdots & \cdots \\
		0 & a_{2k_2} & \cdots & \cdots \\
		\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
		0 & 0 & \cdots & a_{r k_r} \\
		& & \Huge\mathcal{O} &
	\end{pmatrix}..
	\]
	利用同样的方法可将此矩阵化为相抵标准型：
	\[
	\begin{pmatrix}
		I_r & O \\
		O & O
	\end{pmatrix}.
	\]
	因此 $r$ 个阶梯点所在的列向量组的秩等于 $r$,即为 $A$ 的列秩,从而阶梯点所在的列向量是 $A$ 的列向量的极大无关组.
\end{proof}






\begin{example}
	求下列矩阵的秩以及列向量的极大无关组:
	
	\[
	\mathbf{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \end{matrix}\right)
	\]
\end{example}

\begin{solution}
	通过初等行变换可将 \({A}\) 化为如下阶梯形矩阵:
	
	\[
	\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \end{matrix}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \rightarrow \left( \begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
	\]
	
	因此 \({A}\) 的秩为 2. 根据上述命题和推论(行变换不改变极大无关组的列指标+阶梯点所在的列向量为极大无关组) 可得 \({A}\) 的第一列和第二列是其列向量的极大无关组.
\end{solution}












\begin{theorem}[秩的子式判别法]
	设 \(m \times n\) 矩阵 \({A} = \left( {a}_{ij}\right)\) 有一个 \(r\) 阶子式不等于零,且 \({A}\) 中任意 \(r + 1\) 阶子式 (如存在) 都等于零,则 \(\mathrm{r}\left( {A}\right) = r\) . 反之,若 \(\mathrm{r}\left( {A}\right) = r\) ,则 \({A}\) 中必有一个 \(r\) 阶子式不等于零,而所有 \(r + 1\) 阶子式都等于零.
\end{theorem}

\begin{proof}
	必要性, 设 \(\mathrm{r}\left( {A}\right) = r\) ,则 \({A}\) 中任意 \(r + 1\) 行都线性相关,由 \(§{3.4}\) 习题 9 的结论知 \({A}\) 的任意 \(r + 1\) 阶子式的行向量也线性相关,再由推论 \ref{corollary:3.8} 可知这些 \(r + 1\) 阶子式的值均为零(不是满秩阵,一定是奇异阵). 再证明 \({A}\) 至少有一个 \(r\) 阶子式不等于零. 因为 \({A}\) 的秩为 \(r\) , \({A}\) 中有 \(r\) 行线性无关. 不失一般性,设为前 \(r\) 行. 把这 \(r\) 行取出得到一个矩阵:
	
	\[
	{B} = \left( \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{r1} & {a}_{r2} & \cdots & {a}_{rn} \end{matrix}\right)
	\]
	
	显然 \(\mathrm{r}\left( {B}\right) = r\) ,因此 \({B}\) 有 \(r\) 列线性无关,同样不妨设为前 \(r\) 列,则由 \({B}\) 的前 \(r\) 列组成的行列式不等于零,即 \({A}\) 有一个 \(r\) 阶子式不等于零.
	
	充分性,设 \({A}\) 有一个 \(r\) 阶子式不为零而 \({A}\) 的所有 \(r + 1\) 阶子式全等于零. 这时由 Laplace 定理可知, \({A}\) 的所有高于 \(r\) 阶的子式均等于零. 设 \(\mathrm{r}\left( {A}\right) = t\) ,根据必要性的证明可知${A}$必有一个$t$阶子式不为零,所有大于$t$阶子式等于零.
	
	若$t>r$,则\({A}\)有一个$t$阶子式不为零,这与大于$r$阶子式为零矛盾.
	
	若$t<r$,则\({A}\)有一个$r$阶子式不为零,这与大于$t$阶子式为零矛盾.于是 \(t = r\) .
	
\end{proof}


\begin{example}
	设 \(C = \left( \begin{array}{ll} {A} & {O} \\ {O} & {B} \end{array}\right)\) ,求证: \(\mathrm{r}\left( {C}\right) = \mathrm{r}\left( {A}\right) + \mathrm{r}\left( {B}\right)\) .
	
\end{example}

\begin{proof}
	设 \({A},{B}\) 的秩分别为 \({r}_{1},{r}_{2}\) ,则存在可逆阵 \({{P}}_{1},{{Q}}_{1}\) 和可逆阵 \({{P}}_{2},{{Q}}_{2}\) ,使
	
	\[
	{{P}}_{1}{A}{{Q}}_{1} = \left( \begin{matrix} {{I}}_{{r}_{1}} & {O} \\ {O} & {O} \end{matrix}\right) ,{{P}}_{2}{B}{{Q}}_{2} = \left( \begin{matrix} {{I}}_{{r}_{2}} & {O} \\ {O} & {O} \end{matrix}\right) .
	\]
	于是
	
	\[
	\left( \begin{matrix} {P}_{1} & O \\ O & {P}_{2} \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} {Q}_{1} & O \\ O & {Q}_{2} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} {P}_{1}A{Q}_{1} & O \\ O & {P}_{2}B{Q}_{2} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} {I}_{{r}_{1}} & O & O & O \\ O & O & O & O \\ O & O & {I}_{{r}_{2}} & O \\ O & O & O & O \end{matrix}\right) .
	\]
	
	再进行初等行列变换即可得到
	\[\begin{pmatrix} {{I}}_{{r}_{1}+r_2} & {O} \\ {O} & {O} \end{pmatrix}\]
	因此 \(\mathrm{r}\left( {C}\right) = {r}_{1} + {r}_{2}\) .
\end{proof}

\begin{note}
	分块矩阵在分块初等变换下秩不改变.
\end{note}





\begin{example}
	设 \(C = \left( \begin{array}{cc} {A} & {D} \\ {O} & {B} \end{array}\right)\)或\(C = \left( \begin{array}{cc} {A} & {O} \\ {D} & {B} \end{array}\right)\) ,求证: \(\mathrm{r}\left( {C}\right) \ge \mathrm{r}\left( {A}\right) + \mathrm{r}\left( {B}\right)\) .
	
\end{example}

\begin{proof}
	设 \({A},{B}\) 的秩分别为 \({r}_{1},{r}_{2}\) ,则存在可逆阵 \({{P}}_{1},{{Q}}_{1}\) 和可逆阵 \({{P}}_{2},{{Q}}_{2}\) ,使
	
	\[
	{{P}}_{1}{A}{{Q}}_{1} = \left( \begin{matrix} {{I}}_{{r}_{1}} & {O} \\ {O} & {O} \end{matrix}\right) ,{{P}}_{2}{B}{{Q}}_{2} = \left( \begin{matrix} {{I}}_{{r}_{2}} & {O} \\ {O} & {O} \end{matrix}\right) .
	\]
	于是
	
	\[
	\left( \begin{matrix} {P}_{1} & O \\ O & {P}_{2} \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} A & D \\ O & B \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} {Q}_{1} & O \\ O & {Q}_{2} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} {P}_{1}A{Q}_{1} & P_1DQ_2 \\ O & {P}_{2}B{Q}_{2} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} {I}_{{r}_{1}} & O & D_{11} & D_{12} \\ O & O & D_{21} & D_{22} \\ O & O & {I}_{{r}_{2}} & O \\ O & O & O & O \end{matrix}\right) .
	\]
	
	再进行初等行列变换即可得到
	\[\begin{pmatrix} 
	{I}_{{r}_{1}} & {O} & {O} & {O} \\ 
	{O} & {D}_{22} & {O} & {O} \\ 
	{O} & {O} & {I}_{{r}_{2}} & {O} \\ 
	{O} & {O} & {O} & {O} \\ 
	\end{pmatrix}\]
	因此 \(\mathrm{r}\left( {C}\right) = r_1+r_2+\mathrm{r}(D_{22}) \ge {r}_{1} + {r}_{2} = \mathrm{r}\left( {A}\right) + \mathrm{r}\left( {B}\right)\)  .
\end{proof}


\begin{note}
	取等号的充要条件是$D_{22} = 0$,当且仅当矩阵方程
	\[AX+YB = D\]有解.
\end{note}



\begin{example}
	设$M = \begin{pmatrix}
		A&B\\
		C&D
	\end{pmatrix}$
	其中$A$为$m$阶方阵,$D$为$n$阶方阵.
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 若$A$可逆,则$\mathrm{r}(M)  = \mathrm{r}(A) +\mathrm{r}(D-CA^{-1}B)$.
		\item 若$D$可逆,则$\mathrm{r}(M)= \mathrm{r}(D)+\mathrm{r}(A - BD^{-1}C)$.
		\item 若$A,D$均可逆,则有
		\[\mathrm{r}(A) +\mathrm{r}(D-CA^{-1}B)=  \mathrm{r}(D)+\mathrm{r}(A - BD^{-1}C) \qquad \text{秩的降阶公式}\]
	\end{enumerate}
\end{example}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 由于$A$可逆,可通过第三类分块初等变换将$C$的位置消为$O$,最终化为分块对角矩阵
		\[\begin{pmatrix}
			A&B\\
			C&D
		\end{pmatrix} \longrightarrow  \begin{pmatrix}
			A&B\\
			O&D - CA^{-1}B
		\end{pmatrix} \longrightarrow  \begin{pmatrix}
		A&O\\
		O&D - CA^{-1}B
		\end{pmatrix} \]
		由于分块矩阵在分块初等变换下秩不改变以及前面的例题可以得到$\mathrm{r}(M)  = \mathrm{r}(A) +\mathrm{r}(D-CA^{-1}B)$.
		\item 也是同理,利用$D$可逆,化为分块对角矩阵即可得到.
		\item 根据(1)(2)显然成立.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{example}
	求证: \(n\) 阶矩阵 \({A}\) 是幂等阵 (即 \({{A}}^{2} = {A}\) ) 的充分必要条件是:
	
	\[
	\mathrm{r}\left( {A}\right) + \mathrm{r}\left( {{{I}}_{n} - {A}}\right) = n.
	\]
\end{example}

\begin{proof}
	在下列矩阵的分块初等变换中矩阵的秩保持不变:
	
	\[
	\left( \begin{matrix} A & O \\ O & I - A \end{matrix}\right) \rightarrow \left( \begin{matrix} A & A \\ O & I - A \end{matrix}\right) \rightarrow \left( \begin{matrix} A & A \\ A & I \end{matrix}\right) \rightarrow \left( \begin{matrix} A - {A}^{2} & A \\ O & I \end{matrix}\right) \rightarrow \left( \begin{matrix} A - {A}^{2} & O \\ O & I \end{matrix}\right) .
	\]
	
	因此
	
	\[
	\mathrm{r}\left( \begin{matrix} {A} & {O} \\ {O} & {I} - {A} \end{matrix}\right) = \mathrm{r}\left( \begin{matrix} {A} - {{A}}^{2} & {O} \\ {O} & {I} \end{matrix}\right)
	\]
	
	即 \(\mathrm{r}\left( {A}\right) + \mathrm{r}\left( {{I} - {A}}\right) = \mathrm{r}\left( {{A} - {{A}}^{2}}\right) + n\) . 由此即得结论.
\end{proof}




\begin{theorem}\label{theorem:3.14}
	\( \mathrm{r}({A})+   \mathrm({B})  - n \le    \mathrm{r}\left( {{AB}}\right) \leq \min \{ \mathrm{r}\left( {A}\right) ,\mathrm{r}\left( {B}\right) \}\) .
\end{theorem}

\begin{proof}
	先证上界,
	 设 \({A}\) 是 \(m \times n\) 矩阵, \({B}\) 是 \(n \times s\) 矩阵. 将矩阵 \({B}\) 按列分块, \({B} =\) \(\left( {{{\beta }}_{1},{{\beta }}_{2},\cdots ,{{\beta }}_{s}}\right)\) ,则 \({A}{B} = \left( {{A}{{\beta }}_{1},{A}{{\beta }}_{2},\cdots ,{A}{{\beta }}_{s}}\right)\) . 若 \({B}\) 列向量的极大无关组为 \(\left\{ {{{\beta }}_{{j}_{1}},{{\beta }}_{{j}_{2}},\cdots ,{{\beta }}_{{j}_{r}}}\right\}\) ,则 \({B}\) 的任一列向量 \({{\beta }}_{j}\) 均可用 \(\left\{ {{{\beta }}_{{j}_{1}},{{\beta }}_{{j}_{2}},\cdots ,{{\beta }}_{{j}_{r}}}\right\}\) 线性表示. 于是任一 \({A}{{\beta }}_{j}\) 也可用 \(\left\{ {{A}{{\beta }}_{{j}_{1}},{A}{{\beta }}_{{j}_{2}},\cdots ,{A}{{\beta }}_{{j}_{r}}}\right\}\) 来线性表示. 因此向量组 \(\left\{ {{A}{{\beta }}_{1},{A}{{\beta }}_{2},\cdots ,{A}{{\beta }}_{s}}\right\}\) 的秩不超过 \(r\) ,即 \(\mathrm{r}\left( {{AB}}\right) \leq  r =\mathrm{r}\left( {B}\right)\) . 
	 
	 根据矩阵的转置不改变矩阵的秩可以的得到
	 \[ \mathrm{r}(AB) = \mathrm{r}(B'A') \le \mathrm{r}(A') = \mathrm{r}(A)\]
	 于是得到
	 \[\mathrm{r}(AB) \le \min\{\mathrm{r}(A),\mathrm{r}(B) \}.\]
	 
	 
	 再证Sylvester不等式,与证明矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积的方法一致,先构造一个如下的分块矩阵
	 \[ \begin{pmatrix}
	 	A&O\\
	 	-I_n &B
	 \end{pmatrix}\]
	 可以通过分块初等变换得到
	 \[
	 \begin{pmatrix}
	 	A&O\\
	 	-I_n &B
	 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix}
	 O&AB\\
	 -I_n &B
	 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix}
	 O&AB\\
	 -I_n &O
	 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix}
	 AB&O\\
	 O &I_n
	 \end{pmatrix}
	 \]
	 分块初等变换不改变矩阵的秩,于是有
	 \[\mathrm{r}(AB)+n = \mathrm{r}\begin{pmatrix}
	 	A&O\\
	 	-I_n &B
	 \end{pmatrix} \ge \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B), \]
	 即证得
	 \[   \mathrm{r} (AB) \ge \mathrm{r}({A})+   \mathrm({B})  - n \]
\end{proof}



\section{坐标向量}

\begin{lemma}
	设 \(\left\{ {{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}\right\}\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的一组基,且
	
	\[
	\mathbf{\alpha } = {a}_{1}{\mathbf{e}}_{1} + {a}_{2}{\mathbf{e}}_{2} + \cdots + {a}_{n}{\mathbf{e}}_{n} = {b}_{1}{\mathbf{e}}_{1} + {b}_{2}{\mathbf{e}}_{2} + \cdots + {b}_{n}{\mathbf{e}}_{n},
	\]
	
	则 \({a}_{1} = {b}_{1},{a}_{2} = {b}_{2},\cdots ,{a}_{n} = {b}_{n}\) .
\end{lemma}
\begin{proof}
	由假设得:
	
	\[
	\left( {{a}_{1} - {b}_{1}}\right) {\mathbf{e}}_{1} + \left( {{a}_{2} - {b}_{2}}\right) {\mathbf{e}}_{2} + \cdots + \left( {{a}_{n} - {b}_{n}}\right) {\mathbf{e}}_{n} = 0.
	\]
	
	但 \({\mathbf{e}}_{1},{\mathbf{e}}_{2},\cdots ,{\mathbf{e}}_{n}\) 线性无关,因此 \({a}_{i} - {b}_{i} = 0\) ,即 \({a}_{i} = {b}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,n}\right)\) .
\end{proof}



这个引理表明,如果取定 \(V\) 中的一组基,则 \(V\) 中任一向量可以而且只可以用一种方式表示为 \({\mathbf{e}}_{1},{\mathbf{e}}_{2},\cdots ,{\mathbf{e}}_{n}\) 的线性组合. 如果我们固定基向量的次序为 \(\left\{ {{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}\right\}\) ,则 \(\mathbf{\alpha }\) 唯一地对应 \(\mathbb{K}\) 中的一组有序数 \(\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right)\) . 我们称这组有序数为 \(\mathbf{\alpha }\) 在基 \(\left\{ {{\mathbf{e}}_{1},{\mathbf{e}}_{2},\cdots ,{\mathbf{e}}_{n}}\right\}\) 下的坐标向量,其中 \({a}_{i}\) 称为第 \(i\) 个坐标. 反过来, \(\mathbb{K}\) 中的任一组有序的 \(n\) 个数 \(\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right)\) 也唯一地对应一个 \(V\) 中的向量 \({a}_{1}{\mathbf{e}}_{1} + {a}_{2}{\mathbf{e}}_{2} + \cdots + {a}_{n}{\mathbf{e}}_{n}\) . 我们把坐标向量看成是 \(n\) 维行向量,于是在 \(V\) 与 \({\mathbb{K}}^{n}\) 之间存在一个一一对应\footnote{即该映射是双射.}\footnote{设$\varphi$是一个从$U$对$V$的线性映射,\quad 单射:若$u \neq v $,则$\varphi(u) \neq \varphi(v)$;\quad 满射:$\forall v\in V,\exists u\in U,s.t \varphi(u) = v$.}的映射 \(\varphi\) :


\[
{a}_{1}{\mathbf{e}}_{1} + {a}_{2}{\mathbf{e}}_{2} + \cdots + {a}_{n}{\mathbf{e}}_{n} \mapsto \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) .
\]



\begin{definition}[线性同构]
	设 \(V,U\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的两个线性空间,若存在 \(V\) 到 \(U\) 上的一个一一对应的映射 \(\varphi\) ,使得对任意 \(V\) 中向量 \(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\) 以及 \(\mathbb{K}\) 中的数 \(k\) ,均有
	
	\[
	\varphi \left( {\mathbf{\alpha } + \mathbf{\beta }}\right) = \varphi \left( \mathbf{\alpha }\right) + \varphi \left( \mathbf{\beta }\right) ;\varphi \left( {k\mathbf{\alpha }}\right) = {k\varphi }\left( \mathbf{\alpha }\right) ,
	\]
	
	则称 \(V\) 与 \(U\) 这两个线性空间同构,记为 \(V \cong U\) .
\end{definition}
\begin{note}
	即在两个线性空间之间存在一个双射并且保持加法和数乘,则这两个线性空间同构.
\end{note}






\begin{theorem}\label{theorem:3.15}
	数域 \(\mathbb{K}\) 上的任一 \(n\) 维线性空间 \(V\) 均与 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维行向量空间 \({\mathbb{K}}^{n}\) 同构.
\end{theorem}

\begin{proof}
	设$\varphi: V \longrightarrow \mathbb{K}^n$,前面已经验证$\varphi$是一个双射,下面只需验证$\varphi$保持加法和数乘即可.
	
	先来看加法. 设
	
	\[
	\mathbf{\alpha } = {a}_{1}{\mathbf{e}}_{1} + {a}_{2}{\mathbf{e}}_{2} + \cdots + {a}_{n}{\mathbf{e}}_{n}
	\]
	
	\[
	\mathbf{\beta } = {b}_{1}{\mathbf{e}}_{1} + {b}_{2}{\mathbf{e}}_{2} + \cdots + {b}_{n}{\mathbf{e}}_{n}
	\]
	
	则
	
	\[
	\mathbf{\alpha } + \mathbf{\beta } = \left( {{a}_{1} + {b}_{1}}\right) {\mathbf{e}}_{1} + \left( {{a}_{2} + {b}_{2}}\right) {\mathbf{e}}_{2} + \cdots + \left( {{a}_{n} + {b}_{n}}\right) {\mathbf{e}}_{n}.
	\]
	
	于是 \(\mathbf{\alpha } + \mathbf{\beta }\) 对应于
	
	\[
	\left( {{a}_{1} + {b}_{1},{a}_{2} + {b}_{2},\cdots ,{a}_{n} + {b}_{n}}\right) .
	\]
	
	当我们把 \(\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right)\) 看成行向量空间 \({\mathbb{K}}^{n}\) 中的向量时,
	
	\[
	\left( {{a}_{1} + {b}_{1},{a}_{2} + {b}_{2},\cdots ,{a}_{n} + {b}_{n}}\right) = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) + \left( {{b}_{1},{b}_{2},\cdots ,{b}_{n}}\right) ,
	\]
	
	因此
	
	\[
	\varphi \left( {\mathbf{\alpha } + \mathbf{\beta }}\right) = \varphi \left( \mathbf{\alpha }\right) + \varphi \left( \mathbf{\beta }\right)
	\]
	
	这里需要注意的是 \(\mathbf{\alpha } + \mathbf{\beta }\) 中的 “+” 是在 \(V\) 中的加法,而 \(\mathbf{\varphi }\left( \mathbf{\alpha }\right) + \mathbf{\varphi }\left( \mathbf{\beta }\right)\) 中的 “+” 是 \({\mathbb{K}}^{n}\) 中的加法.
	
	另一方面,若 \(k \in \mathbb{K}\) ,则
	
	\[
	k\mathbf{\alpha } = k{a}_{1}{\mathbf{e}}_{1} + k{a}_{2}{\mathbf{e}}_{2} + \cdots + k{a}_{n}{\mathbf{e}}_{n},
	\]
	
	因此
	
	\[
	\varphi \left( {k\mathbf{\alpha }}\right) = \left( {k{a}_{1},k{a}_{2},\cdots ,k{a}_{n}}\right) = k\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) = {k\varphi }\left( \mathbf{\alpha }\right) .
	\]
\end{proof}


\begin{theorem}\label{theorem:3.16}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 设 \(\varphi : V \rightarrow U\) 为线性空间的同构,则
		
		\[
		\varphi \left( \mathbf{0}\right) = \mathbf{0}
		\]
		\item \(\varphi\) 将线性相关的向量组映成线性相关的向量组,将线性无关的向量组映成线性无关的向量组;
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 显然有
		
		\[
		\varphi \left( \mathbf{0}\right) = \varphi \left( {\mathbf{0} + \mathbf{0}}\right) = \varphi \left( \mathbf{0}\right) + \varphi \left( \mathbf{0}\right)
		\]
		
		消去一个 \(\varphi \left( \mathbf{0}\right)\) 就有 \(\varphi \left( \mathbf{0}\right) = \mathbf{0}\) .
		\item 若 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}\) 是 \(V\) 中线性相关向量,则存在不全为零的数 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{m}\) , 使
		
		\[
		{k}_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + {k}_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + {k}_{m}{\mathbf{\alpha }}_{m} = \mathbf{0},
		\]
		
		于是由 \(\left( 1\right)\) ,有
		
		\[
		\mathbf{\varphi }\left( {{k}_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + {k}_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + {k}_{m}{\mathbf{\alpha }}_{m}}\right) = \mathbf{0}.
		\]
		上式左端为
		
		\[
		\varphi \left( {{k}_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1}}\right) + \varphi \left( {{k}_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2}}\right) + \cdots + \varphi \left( {{k}_{m}{\mathbf{\alpha }}_{m}}\right) = {k}_{1}\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{1}\right) + {k}_{2}\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{2}\right) + \cdots + {k}_{m}\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{m}\right) .
		\]
		
		因此 \(\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{1}\right) ,\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{2}\right) ,\cdots ,\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{m}\right)\) 是一组线性相关的向量.
		
		另一方面,若 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}\) 线性无关且如果 \(\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{1}\right) ,\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{2}\right) ,\cdots ,\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{m}\right)\) 在 \(U\) 中线性相关,则存在一组不全为零的数 \({c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{m}\) ,使
		
		\[
		{c}_{1}\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{1}\right) + {c}_{2}\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{2}\right) + \cdots + {c}_{m}\varphi \left( {\mathbf{\alpha }}_{m}\right) = \mathbf{0}.
		\]
		
		但上式左端等于
		
		\[
		\varphi \left( {{c}_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + {c}_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + {c}_{m}{\mathbf{\alpha }}_{m}}\right) .
		\]
		
		由于 \(\varphi\) 是一一对应的映射且已证明 \(V\) 中的零向量与 \(U\) 中的零向量对应,因此
		
		\[
		{c}_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + {c}_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + {c}_{m}{\mathbf{\alpha }}_{m} = \mathbf{0}.
		\]
		
		但 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}\) 线性无关,这就引出了矛盾,故 \(\mathbf{\varphi }\left( {\mathbf{\alpha }}_{1}\right) ,\mathbf{\varphi }\left( {\mathbf{\alpha }}_{2}\right) ,\cdots ,\mathbf{\varphi }\left( {\mathbf{\alpha }}_{m}\right)\) 必线性无关.
	\end{enumerate}
\end{proof}




\begin{corollary}
	设 \(\left\{ {{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}\right\}\) 是线性空间 \(V\) 的基, \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}\) 是 \(V\) 中向量. 它们在这组基下的坐标向量依次为 \({\widetilde{\alpha }}_{1},{\widetilde{\alpha }}_{2},\cdots ,{\widetilde{\alpha }}_{m}\) ,则向量组 \({\widetilde{\alpha }}_{1},{\widetilde{\alpha }}_{2},\cdots\) , \({\widetilde{\mathbf{\alpha }}}_{m}\) 和向量组 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}\) 有相同的秩.
\end{corollary}
\begin{proof}
	同构映射将 \(\left\{ {{\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}}\right\}\) 的极大无关组映为 \(\left\{ {{\widetilde{\mathbf{\alpha }}}_{1},{\widetilde{\mathbf{\alpha }}}_{2},\cdots ,{\widetilde{\mathbf{\alpha }}}_{m}}\right\}\) 的极大无关组, 所以这两组向量的秩相同.
	
\end{proof}

\begin{note}
	不仅秩相同而且极大无关组的列指标相同.  
\end{note}

这个推论可以使我们将一般的线性空间中向量组的求秩问题归结为行向量或列向量的求秩问题, 我们已经知道它可以用矩阵来处理. 特别, 判断向量组是否线性相关也可以这样做.


\begin{example}
	设 \(\left\{ {{\mathbf{e}}_{1},{\mathbf{e}}_{2},{\mathbf{e}}_{3}}\right\}\) 是线性空间 \(V\) 的基,又
	\[\begin{cases}
		{\mathbf{\alpha }}_{1} = {\mathbf{e}}_{1} + 2{\mathbf{e}}_{2} + 3{\mathbf{e}}_{3} \\ {\mathbf{\alpha }}_{2} = 2{\mathbf{e}}_{1} - {\mathbf{e}}_{2} - 3{\mathbf{e}}_{3} \\ {\mathbf{\alpha }}_{3} = {\mathbf{e}}_{1} - 3{\mathbf{e}}_{2} - 6{\mathbf{e}}_{3}
	\end{cases}\]
	求向量组 \(\left\{ {{\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},{\mathbf{\alpha }}_{3}}\right\}\) 的秩并判断它们是否线性相关.
\end{example}

\begin{solution}
	因为矩阵
	
	\[
	\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & - 1 & - 3 \\ 1 & - 3 & - 6 \end{matrix}\right)
	\]
	
	的秩等于 2,所以向量组 \(\left\{ {{\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},{\mathbf{\alpha }}_{3}}\right\}\) 的秩等于 2 . 这 3 个向量线性相关.
\end{solution}



\section{基变换与过渡矩阵}


\begin{definition}[过渡矩阵]
	设 \(\left\{ {{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}\right\}\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上线性空间 \(V\) 的一组基, \(\left\{ {{\mathbf{f}}_{1},{\mathbf{f}}_{2}}\right.\) , \(\left. {\cdots ,{\mathbf{f}}_{n}}\right\}\) 是另一组基,则 \({\mathbf{f}}_{1},{\mathbf{f}}_{2},\cdots ,{\mathbf{f}}_{n}\) 可用 \({\mathbf{e}}_{1},{\mathbf{e}}_{2},\cdots ,{\mathbf{e}}_{n}\) 的下列线性组合表示:
	
	\[
	\left\{ \begin{matrix} {\mathbf{f}}_{1} = {a}_{11}{\mathbf{e}}_{1} + {a}_{12}{\mathbf{e}}_{2} + \cdots + {a}_{1n}{\mathbf{e}}_{n}, \\ {\mathbf{f}}_{2} = {a}_{21}{\mathbf{e}}_{1} + {a}_{22}{\mathbf{e}}_{2} + \cdots + {a}_{2n}{\mathbf{e}}_{n}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {\mathbf{f}}_{n} = {a}_{n1}{\mathbf{e}}_{1} + {a}_{n2}{\mathbf{e}}_{2} + \cdots + {a}_{nn}{\mathbf{e}}_{n}. \end{matrix}\right.
	\]
	
	上述表示式中 \({\mathbf{e}}_{i}\) 的系数组成了一个元素在 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶矩阵,这个矩阵的转置
	
	\[
	\mathbf{A} = \left( \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{21} & \cdots & {a}_{n1} \\ {a}_{12} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {a}_{1n} & {a}_{2n} & \cdots & {a}_{nn} \end{matrix}\right)
	\]
	
	称为从基 \(\left\{ {{\mathbf{e}}_{1},{\mathbf{e}}_{2},\cdots ,{\mathbf{e}}_{n}}\right\}\) 到基 \(\left\{ {{\mathbf{f}}_{1},{\mathbf{f}}_{2},\cdots ,{\mathbf{f}}_{n}}\right\}\) 的过渡矩阵.
\end{definition}

\begin{note}
	即有 
	\[(f_1,f_2,\cdots,f_n) = (e_1,e_2,\cdots,e_n)A.\]
\end{note}


\begin{lemma}\label{lemma:3.5}
	设 \(\left\{ {{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}\right\}\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上线性空间 \(V\) 的一组基,$A = (a_{ij})_{n\times m},B = (b_{ij})_{n\times m}$使得
	\[({{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}) A = ({{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}})B\]
	则
	\[A = B.\]
\end{lemma}

\begin{proof}
	\[({{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}) A = \left( \sum_{i=1}^{n}a_{i1}e_i,\sum_{i=1}^{n}a_{i2}e_i,\cdots,\sum_{i=1}^{n}a_{im}e_i\right)\]
	\[({{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}) B = \left( \sum_{i=1}^{n}b_{i1}e_i,\sum_{i=1}^{n}b_{i2}e_i,\cdots,\sum_{i=1}^{n}b_{im}e_i\right)\]
	于是有
	\[\sum_{i=1}^{n}a_{i1}e_i = \sum_{i=1}^{n}b_{i1}e_i,\cdots,\sum_{i=1}^{n}a_{im}e_i = \sum_{i=1}^{n}b_{im}e_i\]
	由于$e_i$为一组基向量,故线性表示唯一,于是有
	\[a_{ij} = b_{ij}\]
	即\[A = B.\]
\end{proof}



现在来看一下同一个向量在不同基下的坐标向量之间的关系.

\begin{proposition}
	设 \(\left\{ {{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}\right\}\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上线性空间 \(V\) 的一组基, \(\left\{ {{{f}}_{1},{{f}}_{2}}\right.\) , \(\left. {\cdots ,{{f}}_{n}}\right\}\) 是另一组基.$\forall \alpha \in V$,有
	\[\alpha = \lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2+\cdots +\lambda_n e_n\]
	\[\alpha = \mu_1 f_1+\mu_2 f_2+\cdots +\mu_n f_n\]
	设\[(f_1,f_2,\cdots,f_n) = (e_1,e_2,\cdots,e_n)A\]
	可以得到
	\begin{align*}
		\alpha &=\begin{pmatrix}
			e_1&e_2&\cdots&e_n
		\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
		\lambda_1\\
		\lambda_2\\
		\vdots\\
		\lambda_n
		\end{pmatrix}\\
		& = \begin{pmatrix}
			f_1&f_2&\cdots&f_n
		\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
			\mu_1\\
			\mu_2\\
			\vdots\\
			\mu_n
		\end{pmatrix}\\
		& = (e_1,e_2,\cdots,e_n)A\begin{pmatrix}
			\mu_1\\
			\mu_2\\
			\vdots\\
			\mu_n
		\end{pmatrix}
	\end{align*}
	
	于是有
	\[\begin{pmatrix}
		\lambda_1\\
		\lambda_2\\
		\vdots\\
		\lambda_n
	\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}
	\mu_1\\
	\mu_2\\
	\vdots\\
	\mu_n
	\end{pmatrix}\]
\end{proposition}


\begin{note}
	即旧的坐标向量等于过渡矩阵乘上新的坐标向量.
\end{note}





\begin{proposition}
	设 \(\left\{ {{e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n}}\right\}\) ,$(f_1,f_2,\cdots,f_n),(g_1,g_2,\cdots,g_n)$均为数域 \(\mathbb{K}\) 上线性空间 \(V\) 的基,设从基$e$到基$f$的过渡矩阵为$A$,从基$f$到基$g$的过渡矩阵为$B$,则
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item $A$为非异阵;
		\item 从基$e$到基$g$的过渡矩阵为$AB$,
	\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 设从基$f$到基$e$的过渡矩阵为$P$,则有
		\[(f_1,f_2,\cdots,f_n) = (e_1,e_2,\cdots,e_n)A\]
		\[(e_1,e_2,\cdots,e_n) = (f_1,f_2,\cdots,f_n)P\]
		可以得到
		\[(e_1,e_2,\cdots,e_n) = (e_1,e_2,\cdots,e_n)AP\]
		于是有
		\[I = AP\]
		于是$A$可逆.
		\item 设从基$e$到基$g$的过渡矩阵为$P$,
		\[(f_1,f_2,\cdots,f_n) = (e_1,e_2,\cdots,e_n)A\]
		\[(g_1,g_2,\cdots,g_n) = (f_1,f_2,\cdots,f_n)B\]
		\[(g_1,g_2,\cdots,g_n) = (e_1,e_2,\cdots,e_n)C\]
		将第一个式子代入到第二个式子可以得到
		\[(g_1,g_2,\cdots,g_n) = (e_1,e_2,\cdots,e_n)AB\]
		于是可以得到
		\[C = AB\]
	\end{enumerate}
\end{proof}



\begin{example}
	设在 \({\mathbb{K}}^{3}\) 中有两组基 \({\mathbf{f}}_{1} = \left( {1,0, - 1}\right) ,{\mathbf{f}}_{2} = \left( {2,1,1}\right) ,{\mathbf{f}}_{3} = \left( {1,1,1}\right)\) 和 \({\mathbf{g}}_{1} = \left( {0,1,1}\right) ,{\mathbf{g}}_{2} = \left( {-1,1,0}\right) ,{\mathbf{g}}_{3} = \left( {1,2,1}\right)\) . 求从 \(\left\{ {{\mathbf{f}}_{1},{\mathbf{f}}_{2},{\mathbf{f}}_{3}}\right\}\) 到 \(\left\{ {{\mathbf{g}}_{1},{\mathbf{g}}_{2},{\mathbf{g}}_{3}}\right\}\) 的过渡矩阵.
\end{example}

\begin{solution}
	这道题如果我们直接做, 将面临解一个九元一次方程组, 非常麻烦. 我们利用上面的结论可以很快得到所要求的结果.
	
	设 \({\mathbf{e}}_{1} = \left( {1,0,0}\right) ,{\mathbf{e}}_{2} = \left( {0,1,0}\right) ,{\mathbf{e}}_{3} = \left( {0,0,1}\right)\) ,则从 \(\left\{ {{\mathbf{e}}_{1},{\mathbf{e}}_{2},{\mathbf{e}}_{3}}\right\}\) 到 \(\left\{ {{\mathbf{f}}_{1},{\mathbf{f}}_{2},{\mathbf{f}}_{3}}\right\}\) 的过渡矩阵为
	
	\[
	\mathbf{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right)
	\]
	
	从 \(\left\{ {{\mathbf{e}}_{1},{\mathbf{e}}_{2},{\mathbf{e}}_{3}}\right\}\) 到 \(\left\{ {{\mathbf{g}}_{1},{\mathbf{g}}_{2},{\mathbf{g}}_{3}}\right\}\) 的过渡矩阵为
	
	\[
	\mathbf{B} = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}\right)
	\]
	
	则从 \(\left\{ {{\mathbf{f}}_{1},{\mathbf{f}}_{2},{\mathbf{f}}_{3}}\right\}\) 到 \(\left\{ {{\mathbf{g}}_{1},{\mathbf{g}}_{2},{\mathbf{g}}_{3}}\right\}\) 的过渡矩阵为 \({\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}\) . 用第二章 的方法求矩阵 \({\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}\) :
	
	
	\[\begin{pmatrix}
		\begin{array}{c:c}
			A&B
		\end{array}
	\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
	\begin{array}{ccc:ccc}
		 1 & 2 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 
		 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 
		 - 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 
	\end{array}
	\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
	\begin{array}{ccc:ccc}
		 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 
		 0 & 1 & 0 & - 1 & - 3 & - 2 \\
 		 0 & 0 & 1 & 2 & 4 & 4
	\end{array}
	\end{pmatrix} \]
	
	因此从基 \(\left\{ {{\mathbf{f}}_{1},{\mathbf{f}}_{2},{\mathbf{f}}_{3}}\right\}\) 到基 \(\left\{ {{\mathbf{g}}_{1},{\mathbf{g}}_{2},{\mathbf{g}}_{3}}\right\}\) 的过渡矩阵为
	
	\[
	\mathbf{P} = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ - 1 & - 3 & - 2 \\ 2 & 4 & 4 \end{matrix}\right)
	\]
\end{solution}


\begin{remark}
	若用行向量$(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$来表示坐标向量.
	
	$\{e_1,e_2,\cdots,e_n \},\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}$为两基,若用形式列向量表示过渡矩阵如下:
	\[\begin{pmatrix}
		f_1\\
		f_2\\
		\vdots\\
		f_n
	\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}
	e_1\\
	e_2\\
	\vdots\\
	e_n
	\end{pmatrix}\]
	则坐标向量的关系为
	\[(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) = (\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n)A.\]
\end{remark}



\section{子空间}



\begin{definition}[子空间]\label{definition:3.14}
	设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的线性空间, \({V}_{0}\) 是 \(V\) 的非空子集,且对 \({V}_{0}\) 中的任意两个向量 \(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\) 及 \(\mathbb{K}\) 中任一数 \(k\) ,总有 \(\mathbf{\alpha } + \mathbf{\beta } \in {V}_{0}\) 及 \(k\mathbf{\alpha } \in {V}_{0}\) ,则称 \({V}_{0}\) 是 \(V\) 的线性子空间,简称子空间.
\end{definition}


\begin{lemma}
	上述定义的 \({V}_{0}\) 在 \(V\) 的加法及数乘下是数域 \(\mathbb{K}\) 上的线性空间.
\end{lemma}
\begin{proof}
	 我们要证明 \({V}_{0}\) 适合线性空间的 8 条规则. 因为 \({V}_{0}\) 是 \(V\) 的子集, 因此 \({V}_{0}\) 中向量的加法适合定义规则 (1),(2). 由于 \({V}_{0}\) 非空, \(\mathbf{0} = \mathbf{\alpha } + \left( {-1}\right) \mathbf{\alpha }\) ,因此规则 (3) 成立. 又 \(- \mathbf{\alpha } = \left( {-1}\right) \mathbf{\alpha }\) ,因此规则 (4) 也成立. 规则 (5) \(\sim \left( 8\right)\) 显然对 \({V}_{0}\) 成立,因此 \({V}_{0}\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的线性空间.
\end{proof}



由上述引理,我们称定义 \ref{definition:3.14} 中的 \({V}_{0}\) 为线性子空间是合理的. 由定义我们不难证明,对 \({V}_{0}\) 中的任意有限个向量 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}\) ,它们的任意线性组合

\[
{\lambda }_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + {\lambda }_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + {\lambda }_{m}{\mathbf{\alpha }}_{m}
\]
仍属于 \({V}_{0}\) .

任一线性空间 \(V\) 至少有两个子空间,一是零向量 \(\{ \mathbf{0}\}\) 组成的子空间,称为零子空间 (维数规定为 0 ); 另一个是 \(V\) 自身. 这两个子空间通常称为平凡子空间.




\begin{lemma}
	设$V_0$是$n$维线性空间$V$的子空间,则有
	\[0\le \dim V_0 \le n = \dim V\]
	进一步,当$V_0$为非平凡子空间时,取严格不等号.
\end{lemma}

\begin{proof}
	设$\dim V_0 = m$,$\{e_1,e_2,\cdots,e_m\}$是$V_0$的一组基,则$\{e_1,e_2,\cdots,e_m\}$在$V$中是线性无关的,由基扩张定理可知可以扩充为$V$的一组基$\{e_1,e_2,\cdots,e_m,e_{m+1},\cdots,e_n\}$.于是$m\le n$.并且$m>0$.
	
	下证,当$\dim V_0= m = n$时,$V_0 = V$.
	设$\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$是$V_0$的一组基,则在$V$中是线性无关的,由于$\dim V = n$,于是$\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$也是$V$的一组基.
	
	$\forall \alpha \in V$,有
	\[\alpha = a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_n e_n\]
	由于$\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$是$V_0$的一组基,于是$\alpha \in V_0$,即$V\subseteq V_0 $.故$V = V_0$.
\end{proof}







\begin{definition}[交空间与和空间]
若 \({V}_{1},{V}_{2}\) 是 \(V\) 的子空间,定义它们的交为既在 \({V}_{1}\) 又在 \({V}_{2}\) 中的全体向量所成的集合 \({V}_{1} \cap {V}_{2}\) . 定义它们的和为
	
	\[
	{V}_{1} + {V}_{2} = \left\{ {\mathbf{\alpha } + \mathbf{\beta } \mid \mathbf{\alpha } \in {V}_{1},\mathbf{\beta } \in {V}_{2}}\right\}
	\]
	
	即所有形如 \(\mathbf{\alpha } + \mathbf{\beta }\) 的向量的集合,其中要求 \(\mathbf{\alpha } \in {V}_{1},\mathbf{\beta } \in {V}_{2}\) .
\end{definition}




\begin{proposition}
	\({V}_{1} \cap {V}_{2},{V}_{1} + {V}_{2}\) 都是 \(V\) 的子空间.
\end{proposition}
\begin{proof}
	按照子空间的定义验证对加法和数乘封闭即可.
\end{proof}


类似地,可以定义 \(m\) 个子空间的交:

\[
{V}_{1} \cap {V}_{2} \cap \cdots \cap {V}_{m}
\]

为属于所有 \({V}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,m}\right)\) 的向量全体组成的子集,它也是 \(V\) 的子空间. 

定义 \(m\) 个子空间的和:

\[
{V}_{1} + {V}_{2} + \cdots + {V}_{m} = \left\{ {{\mathbf{\alpha }}_{1} + {\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + {\mathbf{\alpha }}_{m} \mid {\mathbf{\alpha }}_{i} \in {V}_{i},i = 1,2,\cdots ,m}\right\}
\]

\({V}_{1} + {V}_{2} + \cdots + {V}_{m}\) 也是 \(V\) 的子空间.



\begin{example}
	在三维行向量空间 \({\mathbb{K}}^{3}\) 中,定义 \({V}_{1} = \{ \left( {a,0,0}\right) \mid a \in \mathbb{K}\} ,{V}_{2} =\) \(\{ \left( {0,b,0}\right) \mid b \in \mathbb{K}\} ,{V}_{3} = \{ \left( {0,0,c}\right) \mid c \in \mathbb{K}\} ,{V}_{4} = \{ \left( {a,b,0}\right) \mid a,b \in \mathbb{K}\} ,{V}_{5} =\) \(\{ \left( {0,b,c}\right) \mid b,c \in \mathbb{K}\}\) ,则 \({V}_{4} = {V}_{1} + {V}_{2},{V}_{5} = {V}_{2} + {V}_{3},{V}_{2} = {V}_{4} \cap {V}_{5},{\mathbb{K}}^{3} = {V}_{3} + {V}_{4} =\) \({V}_{1} + {V}_{5} = {V}_{4} + {V}_{5} = {V}_{1} + {V}_{2} + {V}_{3}\)
\end{example}



\begin{definition}[张成子空间]
 设 \(S\) 是线性空间 \(V\) 的子集,记 \(L\left( S\right)\) 为 \(S\) 中向量所有可能的线性组合构成的子集,则由子空间 的定义, \(L\left( S\right)\) 是 \(V\) 的一个子空间,称之为由集合 \(S\) 生成的子空间,或称之为由 \(S\) 张成的子空间.
\end{definition}




\begin{proposition}
	设 \(S\) 是线性空间 \(V\) 的子集, \(L\left( S\right)\) 为由 \(S\) 张成的子空间,则
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item  \(S \subseteq L\left( S\right)\) 且若 \({V}_{0}\) 是包含集合 \(S\) 的子空间,则 \(L\left( S\right) \subseteq {V}_{0}\) ,也即 \(L\left( S\right)\) 是包含 \(S\) 的 \(V\) 的最小子空间;
		\item  \(L\left( S\right)\) 的维数等于 \(S\) 中极大无关组所含向量的个数,且若 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}\) 是 \(S\) 的极大无关组,则
		
		\[
		L\left( S\right) = L\left( {{\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}}\right)
		\]
		且
		\[\dim L(S) = \mathrm{r}(S).\]
	\end{enumerate}	
\end{proposition}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 显然 \(S \subseteq L\left( S\right)\) . 设 \(\mathbf{\beta } \in L\left( S\right)\) ,则 \(\mathbf{\beta }\) 是 \(S\) 中若干个向量 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{r}\) 的线性组合:
		
		\[
		\mathbf{\beta } = {\lambda }_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + {\lambda }_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + {\lambda }_{r}{\mathbf{\alpha }}_{r}
		\]
		
		因为 \(S \subseteq {V}_{0}\) ,由子空间的定义可知 \(\mathbf{\beta } \in {V}_{0}\) ,所以 \(L\left( S\right) \subseteq {V}_{0}\) .
		\item 设 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}\) 是 \(S\) 的极大无关组,则 \(S\) 中任一向量都是 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}\) 的线性组合, 即
		
		\[
		S \subseteq L\left( {{\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}}\right)
		\]
		
		因此
		
		\[
		L\left( S\right) \subseteq L\left( {{\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}}\right)
		\]
		
		另一方面, 显然有
		
		\[
		L\left( {{\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}}\right) \subseteq L\left( S\right)
		\]
		
		因此
		
		\[
		L\left( S\right) = L\left( {{\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}}\right)
		\]
		
		\(L\left( S\right)\) 的维数等于 \(m\) .即
		\[\dim L(S) = \mathrm{r}(S).\]
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{example}
	实三维几何空间中, 一个非零向量生成的子空间为这个向量所在的直线. 不在同一条直线上的两个向量生成的子空间为这两个向量所在的平面. 3 个不在同一平面内的向量生成的子空间即为整个空间.
\end{example}

\begin{example}
	设 \({V}_{1},{V}_{2}\) 是线性空间 \(V\) 的子空间,则 \(L\left( {{V}_{1} \cup {V}_{2}}\right) = {V}_{1} + {V}_{2}\) .
\end{example}

\begin{proof}
	由生成的定义,对任意的 \({\mathbf{\alpha }}_{1} \in {V}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2} \in {V}_{2},{\mathbf{\alpha }}_{1} + {\mathbf{\alpha }}_{2} \in L\left( {{V}_{1} \cup {V}_{2}}\right)\) , 故 \({V}_{1} + {V}_{2} \subseteq L\left( {{V}_{1} \cup {V}_{2}}\right)\) . 另一方面,因为 \({V}_{1} \subseteq {V}_{1} + {V}_{2},{V}_{2} \subseteq {V}_{1} + {V}_{2}\) ,由张成子空间的最小性, \(L\left( {{V}_{1} \cup {V}_{2}}\right) \subseteq {V}_{1} + {V}_{2}\) . 于是 \(L\left( {{V}_{1} \cup {V}_{2}}\right) = {V}_{1} + {V}_{2}\) .
\end{proof}


一般地,我们不难证明: 若 \({V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{m}\) 是 \(V\) 的子空间,则

\[
L\left( {{V}_{1} \cup {V}_{2} \cup \cdots \cup {V}_{m}}\right) = {V}_{1} + {V}_{2} + \cdots + {V}_{m}.
\]

下面我们给出和空间与交空间之间的维数公式.


\begin{theorem}[维数公式]
	设 \({V}_{1},{V}_{2}\) 是线性空间 \(V\) 的子空间,则
	
	\[
	\dim \left( {{V}_{1} + {V}_{2}}\right) = \dim {V}_{1} + \dim {V}_{2} - \dim \left( {{V}_{1} \cap {V}_{2}}\right)
	\]
\end{theorem}

\begin{proof}
	设 \(\dim {V}_{1} = {n}_{1},\dim {V}_{2} = {n}_{2},\dim \left( {{V}_{1} \cap {V}_{2}}\right) = m\) . 取 \({V}_{1} \cap {V}_{2}\) 的一组基 \(\left\{ {{\mathbf{\alpha }}_{1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m}}\right\}\) .
	
	由于 \({V}_{1} \cap {V}_{2}\) 是 \({V}_{1}\) 的子空间,故可添上 \({V}_{1}\) 中的向量 \({\mathbf{\alpha }}_{m + 1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{{n}_{1}}\) ,使 \(\left\{ {{\mathbf{\alpha }}_{1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m},{\mathbf{\alpha }}_{m + 1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{{n}_{1}}}\right\}\) 是 \({V}_{1}\) 的一组基. 同样道理,可添上 \({\mathbf{\beta }}_{m + 1},\cdots ,{\mathbf{\beta }}_{{n}_{2}}\) ,使 \(\left\{ {{\mathbf{\alpha }}_{1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m},{\mathbf{\beta }}_{m + 1},\cdots ,{\mathbf{\beta }}_{{n}_{2}}}\right\}\) 成为 \({V}_{2}\) 的一组基. 显然. \({V}_{1} + {V}_{2}\) 中的向量均可由向量组
	
	\[
	{\mathbf{\alpha }}_{1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m},{\mathbf{\alpha }}_{m + 1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{{n}_{1}},{\mathbf{\beta }}_{m + 1},\cdots ,{\mathbf{\beta }}_{{n}_{2}}
	\]
	
	的线性组合给出. 如能证明上式中的向量线性无关,则它们构成 \({V}_{1} + {V}_{2}\) 的一组基, 由此即可推出所要的结论. 现假定
	
	\[
	{\lambda }_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + \cdots + {\lambda }_{m}{\mathbf{\alpha }}_{m} + {\lambda }_{m + 1}{\mathbf{\alpha }}_{m + 1} + \cdots + {\lambda }_{{n}_{1}}{\mathbf{\alpha }}_{{n}_{1}} + {\mu }_{m + 1}{\mathbf{\beta }}_{m + 1} + \cdots + {\mu }_{{n}_{2}}{\mathbf{\beta }}_{{n}_{2}} = \mathbf{0},
	\]
	
	则
	
	\[
	{\lambda }_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + \cdots + {\lambda }_{m}{\mathbf{\alpha }}_{m} + {\lambda }_{m + 1}{\mathbf{\alpha }}_{m + 1} + \cdots + {\lambda }_{{n}_{1}}{\mathbf{\alpha }}_{{n}_{1}} = - \left( {{\mu }_{m + 1}{\mathbf{\beta }}_{m + 1} + \cdots + {\mu }_{{n}_{2}}{\mathbf{\beta }}_{{n}_{2}}}\right) .
	\]
	
	上式左端属于 \({V}_{1}\) ,右端属于 \({V}_{2}\) ,故
	
	\[
	{\mu }_{m + 1}{\mathbf{\beta }}_{m + 1} + \cdots + {\mu }_{{n}_{2}}{\mathbf{\beta }}_{{n}_{2}} \in {V}_{1} \cap {V}_{2}
	\]
	
	即存在 \({\xi }_{1},\cdots ,{\xi }_{m} \in \mathbb{K}\) ,使
	
	\[
	{\mu }_{m + 1}{\mathbf{\beta }}_{m + 1} + \cdots + {\mu }_{{n}_{2}}{\mathbf{\beta }}_{{n}_{2}} = {\xi }_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + \cdots + {\xi }_{m}{\mathbf{\alpha }}_{m}.
	\]
	
	但 \({\mathbf{\alpha }}_{1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m},{\mathbf{\beta }}_{m + 1},\cdots ,{\mathbf{\beta }}_{{n}_{2}}\) 是 \({V}_{2}\) 的基,因此 \({\mu }_{m + 1} = \cdots = {\mu }_{{n}_{2}} = {\xi }_{1} = \cdots =\) \({\xi }_{m} = 0\) . 再由 \({\mathbf{\alpha }}_{1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m},{\mathbf{\alpha }}_{m + 1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{{n}_{1}}\) 线性无关得 \({\lambda }_{1} = \cdots = {\lambda }_{m} = {\lambda }_{m + 1} =\) \(\cdots = {\lambda }_{{n}_{1}} = 0.\)
	
	即证得\[
	{\mathbf{\alpha }}_{1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{m},{\mathbf{\alpha }}_{m + 1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{{n}_{1}},{\mathbf{\beta }}_{m + 1},\cdots ,{\mathbf{\beta }}_{{n}_{2}}
	\]是$V_1+V_2$的一组基,故
	\[
	\dim \left( {{V}_{1} + {V}_{2}}\right) = \dim {V}_{1} + \dim {V}_{2} - \dim \left( {{V}_{1} \cap {V}_{2}}\right)
	\]
\end{proof}





若 \({V}_{1} \cap {V}_{2} = 0\) ,则由维数公式马上得到 \(\dim \left( {{V}_{1} + {V}_{2}}\right) = \dim {V}_{1} + \dim {V}_{2}\) ,即和空间的维数等于维数的和. 我们可以自然地问: 若 \({V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{m}\) 是 \(V\) 的子空间,当它们之间满足怎样的关系时, \(\dim \left( {{V}_{1} + {V}_{2} + \cdots + {V}_{m}}\right) = \dim {V}_{1} + \dim {V}_{2} +\) \(\cdots + \dim {V}_{m}\) 才会成立呢? 为了回答这个问题,我们需要先引入直和的概念,它是子空间的一类特别重要的和.



\begin{definition}[直和]
	设 \({V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{m}\) 是线性空间 \(V\) 的子空间,若对一切 \(i(i =\) \(1,2,\cdots ,m),\)
	
	\[
	{V}_{i} \cap \left( {{V}_{1} + \cdots + {V}_{i - 1} + {V}_{i + 1} + \cdots + {V}_{m}}\right) = 0,
	\]
	
	则称和 \({V}_{1} + {V}_{2} + \cdots + {V}_{m}\) 为直和,记为
	
	\[
	{V}_{1} \oplus {V}_{2} \oplus \cdots \oplus {V}_{m}
	\]
\end{definition}



\begin{remark}
	子空间两两相交为零空间并不能说明是直和.比如在
	$\mathbb{R}^2$中,设$V_1$是$x$轴,$V_2$是$y$轴,$V_3$是$y=x$这条直线,容易看出$V_1,V_2,V_3$两两相交为$\{0\}$,但是$V_3 \cap (V_2+V_3) = V_3 \neq \mathbf{0}$.
\end{remark}


\begin{theorem}\label{theorem:3.9.2}
	设 \({V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{m}\) 是线性空间 \(V\) 的子空间, \({V}_{0} = {V}_{1} + {V}_{2} + \cdots +\) \({V}_{m}\) ,则下列命题等价:
	
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item \({V}_{0} = {V}_{1} \oplus {V}_{2} \oplus \cdots \oplus {V}_{m}\) 是直和;
		\item 对任意的 \(2 \leq i \leq m\) ,
		
		\[
		{V}_{i} \cap \left( {{V}_{1} + {V}_{2} + \cdots + {V}_{i - 1}}\right) = 0
		\]
		\item  \(\dim \left( {{V}_{1} + {V}_{2} + \cdots + {V}_{m}}\right) = \dim {V}_{1} + \dim {V}_{2} + \cdots + \dim {V}_{m}\) ;
		\item \({V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{m}\) 的一组基可以拼成 \({V}_{0}\) 的一组基;
		\item  分块表示唯一: \({V}_{0}\) 中的向量表示为 \({V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{m}\) 中的向量之和时其表示唯一,即若 \(\alpha \in {V}_{0}\) 且
		
		\[
		\mathbf{\alpha } = {\mathbf{v}}_{1} + {\mathbf{v}}_{2} + \cdots + {\mathbf{v}}_{m} = {\mathbf{u}}_{1} + {\mathbf{u}}_{2} + \cdots + {\mathbf{u}}_{m}
		\]
		
		其中 \({\mathbf{v}}_{i},{\mathbf{u}}_{i} \in {V}_{i}\) ,则 \({\mathbf{u}}_{i} = {\mathbf{v}}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,m}\right)\) .
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
	\(\left( 1\right) \Rightarrow \left( 2\right)\) : 根据直和的定义显然.
	
	\(\left( 2\right) \Rightarrow \left( 3\right)\) : 由维数公式可知,对任意的 \(2 \leq i \leq m\) ,
	
	\[
	\dim \left( {{V}_{1} + {V}_{2} + \cdots + {V}_{i}}\right) = \dim \left( {{V}_{1} + {V}_{2} + \cdots + {V}_{i - 1}}\right) + \dim {V}_{i}
	\]
	不断迭代下去即得
	
	\[
	\dim \left( {{V}_{1} + {V}_{2} + \cdots + {V}_{m}}\right) = \dim {V}_{1} + \dim {V}_{2} + \cdots + \dim {V}_{m}
	\]
	
	\(\left( 3\right) \Rightarrow \left( 4\right)\) : 依次取 \({V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{m}\) 的一组基为
	
	\begin{align}\label{eq:3.3}
			{{e}}_{11},\cdots ,{{e}}_{1{n}_{1}};{{e}}_{21},\cdots ,{{e}}_{2{n}_{2}};\cdots ;{{e}}_{m1},\cdots ,{{e}}_{m{n}_{m}},
	\end{align}


	
	则 \(\dim {V}_{0} = {n}_{1} + {n}_{2} + \cdots + {n}_{m}\) 且 \({V}_{0}\) 中任一向量均可由 \eqref{eq:3.3} 式中向量的线性组合来表示. 由定理\ref{theorem:3.9}  知 \eqref{eq:3.3} 式中的向量构成了 \({V}_{0}\) 的一组基, 即 \({V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{m}\) 的一组基可以拼成 \({V}_{0}\) 的一组基.
	
	接下去我们先证明 (5) 等价于一个弱一点的条件:
	
	\(\left( {5}^{\prime }\right) {V}_{0}\) 中的零向量表示为 \({V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{m}\) 中的向量之和时其表示唯一,即若
	
	\[
	\mathbf{0} = {\mathbf{v}}_{1} + {\mathbf{v}}_{2} + \cdots + {\mathbf{v}}_{m}
	\]
	
	其中 \({\mathbf{v}}_{i} \in {V}_{i}\) ,则 \({\mathbf{v}}_{i} = \mathbf{0}\left( {i = 1,2,\cdots ,m}\right)\) .
	
	\(\left( 5\right) \Rightarrow \left( {5}^{\prime }\right)\) : 显然. 反之,由向量 \(\mathbf{\alpha }\) 的两个表示可得
	
	\[
	\mathbf{0} = \left( {{\mathbf{u}}_{1} - {\mathbf{v}}_{1}}\right) + \left( {{\mathbf{u}}_{2} - {\mathbf{v}}_{2}}\right) + \cdots + \left( {{\mathbf{u}}_{m} - {\mathbf{v}}_{m}}\right)
	\]
	
	从而由 \(\left( {5}^{\prime }\right)\) 可推出 (5) 的结论.
	
	\(\left( 4\right) \Rightarrow \left( {5}^{\prime }\right)\) : 依次取 \({V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{m}\) 的一组基如 \eqref{eq:3.3} 式所设,于是它们拼成了 \({V}_{0}\) 的一组基,特别地,\eqref{eq:3.3} 式中诸向量线性无关. 对任意的 \(1 \leq i \leq m\) , 设 \({\mathbf{v}}_{i} = {\lambda }_{i1}{{e}}_{i1} + {\lambda }_{i2}{{e}}_{i2} + \cdots + {\lambda }_{i{n}_{i}}{{e}}_{i{n}_{i}}\) ,则
	
	\[
	\mathbf{0} = {\lambda }_{11}{{e}}_{11} + {\lambda }_{12}{{e}}_{12} + \cdots + {\lambda }_{1{n}_{1}}{{e}}_{1{n}_{1}}+ {\lambda }_{21}{{e}}_{21} + {\lambda }_{22}{{e}}_{22} + \cdots + {\lambda }_{2{n}_{2}}{{e}}_{2{n}_{2}} + \cdots+ {\lambda }_{m1}{{e}}_{m1} + {\lambda }_{m2}{{e}}_{m2} + \cdots + {\lambda }_{m{n}_{m}}{{e}}_{m{n}_{m}}.
	\]
	
	
	由\eqref{eq:3.3} 式中向量的线性无关性,即得 \({\lambda }_{ij} = 0\) . 因此 \({\mathbf{v}}_{i} = \mathbf{0}\left( {i = 1,2,\cdots ,m}\right)\) .
	
	\(\left( {5}^{\prime }\right) \Rightarrow \left( 1\right)\) : 任取 \(\mathbf{v} \in {V}_{i} \cap \left( {{V}_{1} + \cdots + {V}_{i - 1} + {V}_{i + 1} + \cdots + {V}_{m}}\right)\) ,则
	
	\[
	\mathbf{v} = {\mathbf{v}}_{1} + \cdots + {\mathbf{v}}_{i - 1} + {\mathbf{v}}_{i + 1} + \cdots + {\mathbf{v}}_{m}
	\]
	
	其中 \({\mathbf{v}}_{j} \in {V}_{j}\left( {j = 1,\cdots ,i - 1,i + 1,\cdots ,m}\right)\) ,于是
	
	\[
	\mathbf{0} = {\mathbf{v}}_{1} + \cdots + {\mathbf{v}}_{i - 1} + \left( {-\mathbf{v}}\right) + {\mathbf{v}}_{i + 1} + \cdots + {\mathbf{v}}_{m}.
	\]
	
	
	注意到 \(\mathbf{v} \in {V}_{i}\) ,由 \(\left( {5}^{\prime }\right)\) 可得 \(\mathbf{v} = \mathbf{0}\) ,从而对任意的 \(1 \leq i \leq m\) ,
	
	\[
	{V}_{i} \cap \left( {{V}_{1} + \cdots + {V}_{i - 1} + {V}_{i + 1} + \cdots + {V}_{m}}\right) = 0,
	\]
	
	即 \({V}_{1} + {V}_{2} + \cdots + {V}_{m}\) 是直和.
\end{proof}



\section{线性方程组的解}




用矩阵秩的概念我们很容易给出一般线性方程组解的判定定理.


\begin{theorem}[线性方程组解的判定定理]
	设有 \(n\) 个未知数 \(m\) 个方程式组成的线性方程组:
	\begin{align}\label{eq:3.4}
		\begin{cases}
			{a}_{11}{x}_{1} + {a}_{12}{x}_{2} + \cdots + {a}_{1n}{x}_{n} = {b}_{1}, \\ 
			{a}_{21}{x}_{1} + {a}_{22}{x}_{2} + \cdots + {a}_{2n}{x}_{n} = {b}_{2}, \\
			\cdots \cdots \cdots \cdots \\ 
			{a}_{m1}{x}_{1} + {a}_{m2}{x}_{2} + \cdots + {a}_{mn}{x}_{n} = {b}_{m},
		\end{cases}
	\end{align}
	
	它的系数矩阵记为 \(\mathbf{A}\) ,增广矩阵记为 \(\widetilde{\mathbf{A}}\) ,即
	
	\[
	\widetilde{\mathbf{A}} = \left( \begin{matrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \cdots & {a}_{1n} & {b}_{1} \\ {a}_{21} & {a}_{22} & \cdots & {a}_{2n} & {b}_{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ {a}_{m1} & {a}_{m2} & \cdots & {a}_{mn} & {b}_{m} \end{matrix}\right)
	\]
	
	则有下列结论:
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 若 \(\widetilde{\mathbf{A}}\) 与 \(\mathbf{A}\) 的秩都等于 \(n\) ,则该方程组有唯一一组解;
		\item 若 \(\widetilde{\mathbf{A}}\) 与 \(\mathbf{A}\) 的秩相等但小于 \(n\) ,即 \(\mathrm{r}\left( \widetilde{\mathbf{A}}\right) = \mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right) < n\) ,则该方程组有无穷多组解;
		\item 若 \(\widetilde{\mathbf{A}}\) 与 \(\mathbf{A}\) 的秩不相等,则该方程组无解.
	\end{enumerate}
\end{theorem}


\begin{proof}
	对$A$列分块,即$A = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$.
	
	首先我们证明方程组 \eqref{eq:3.4} 有解的充分必要条件是
	
	\[
	\mathrm{r}\left( \widetilde{\mathbf{A}}\right) = \mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right)
	\]
	如同第 4 节那样把方程组  \eqref{eq:3.4}  写成向量形式就是
	
	\[
	{x}_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + {x}_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + {x}_{n}{\mathbf{\alpha }}_{n} = \mathbf{\beta }
	\]

	
	其中 \({\mathbf{\alpha }}_{i}\) 为矩阵 \(\mathbf{A}\) 的第 \(i\) 个列向量, \(\mathbf{\beta }\) 为常数项向量. 方程组  \eqref{eq:3.4}  有解等同于 \(\mathbf{\beta }\) 是 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{n}\) 的线性组合.
	
	必要性:
	设$A$列向量的极大无关组为$\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\}$,$r = \mathrm{r}(\mathbf{A})$根据线性组合的传递性可知$\beta$也是$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$的线性组合,于是$\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\}$也是$\widetilde{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}
		\begin{array}{c:c}
			\mathbf{A}&\beta
		\end{array}
	\end{pmatrix}$的列向量的极大无关组,从而
	\[\mathrm{r}\left( \widetilde{\mathbf{A}}\right) =r= \mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right)\]
	
	充分性:若 \(\mathrm{r}\left( \widetilde{\mathbf{A}}\right) = \mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right) = r\) ,则 \(\mathbf{A}\) 的列向量的极大线性无关组就是 \(\widetilde{\mathbf{A}}\) 的列向量的极大线性无关组\footnote{ \(\mathbf{A}\) 的列向量的极大线性无关组在\(\widetilde{\mathbf{A}}\)中是线性无关的,并且$\mathrm{r}\left( \widetilde{\mathbf{A}}\right) = r$,于是也是$\widetilde{\mathbf{A}}$的极大无关组.}. 因此 \(\mathbf{\beta }\) 可表示为 \(\mathbf{A}\) 的列向量的线性组合,于是线性方程组有解.
	
	若再有 \(\mathrm{r}\left( \widetilde{\mathbf{A}}\right) = \mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right) = n\) ,此时 \(\mathbf{A}\) 的 \(n\) 个列向量线性无关,所以 \(\mathbf{\beta }\) 只有唯一一种方法表示为 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{n}\) 的线性组合,即方程组只有唯一组解.
	
	若 \(\mathrm{r}\left( \widetilde{\mathbf{A}}\right) = \mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right) = r < n\) ,则 \({\mathbf{\alpha }}_{1},{\mathbf{\alpha }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{n}\) 线性相关,即存在不全为零的数 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{n}\) ,使得
	
	\[
	{k}_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + {k}_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + {k}_{n}{\mathbf{\alpha }}_{n} = \mathbf{0}.
	\]
	
	这时对任意的数 \(k\) ,
	
	\[
	k{k}_{1}{\mathbf{\alpha }}_{1} + k{k}_{2}{\mathbf{\alpha }}_{2} + \cdots + k{k}_{n}{\mathbf{\alpha }}_{n} = \mathbf{0}.
	\]
	
	因此若 \({x}_{1} = {c}_{1},{x}_{2} = {c}_{2},\cdots ,{x}_{n} = {c}_{n}\) 是方程组的解,即
	\[c_1\alpha_{1}+c_2\alpha_{2}+\cdots+c_n\alpha_{n} = \beta\]
	
	将上面两式相加即有
	 \({x}_{1} = k{k}_{1} + {c}_{1},{x}_{2} =\) \(k{k}_{2} + {c}_{2},\cdots ,{x}_{n} = k{k}_{n} + {c}_{n}\) 都是解,显然这样的解有无穷多组($k_i$不全为零).
\end{proof}


当线性方程组 \eqref{eq:3.4} 有无穷多组解时, 我们能否用有限组解来把握所有的解, 这是我们要解决的问题. 我们先研究最简单的情形, 即所谓齐次线性方程组的解.


\begin{definition}[齐次线性方程组]
	 线性方程组 \eqref{eq:3.4}  称为齐次线性方程组,若其所有常数项 \({b}_{i}\) 都为零, 否则就称为非齐次线性方程组.
\end{definition}




\begin{lemma}
	设$\gamma$是$\mathbf{A}\mathbf{x} = \beta$的一个解(称为特解),则$\alpha$是$\mathbf{A}\mathbf{x} = \beta$的解的充要条件是$\alpha - \gamma$是相伴的齐次线性方程组$ \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0} $的解.
\end{lemma}

\begin{proof}
	必要性:$\alpha,\gamma$都是$\mathbf{A}\mathbf{x} = \beta$的解,于是$\mathbf{A}(\alpha-\gamma) = \mathbf{A}\alpha-\mathbf{A}\gamma = \beta - \beta = 0$,即$\alpha-\gamma$是$\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}$的解.
	
	充分性:$\alpha - \gamma$是相伴的齐次线性方程组$ \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0} $的解,则
	\[ 0 =\mathbf{A}(\alpha-\gamma) = \mathbf{A}\alpha - \beta \]
	于是$\mathbf{A}\alpha = b\beta$,即$\alpha$是$ \mathbf{A}\mathbf{x} = \beta$的一个解.
\end{proof}




齐次线性方程组的矩阵形式为
\begin{align}\label{eq:3.5}
	\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0}.
\end{align}




显然 \({x}_{1} = {x}_{2} = \cdots = {x}_{n} = 0\) 总是方程组 \eqref{eq:3.5} 的解. 齐次线性方程组中 \(\widetilde{\mathbf{A}}\) 的秩与 \(\mathbf{A}\) 的秩显然相等. 若 \(\mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right) < n\) ,则方程组 \eqref{eq:3.5} 有无穷多组解; 当 \(\mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right) = n\) 时只有零解,这时,我们称方程组 \eqref{eq:3.5} 只有平凡解. 我们的目的是在方程组有非平凡解时找出所有的解.

从向量空间的观点来看方程组 \eqref{eq:3.5},它的一个解可以看成是 \(n\) 维列向量空间中的一个元素. 若 \(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\) 是方程组 \eqref{eq:3.5} 的解,即 \(\mathbf{A}\mathbf{\alpha } = \mathbf{0},\mathbf{A}\mathbf{\beta } = \mathbf{0}\) , 则 \(\mathbf{A}\left( {\mathbf{\alpha } + \mathbf{\beta }}\right) = \mathbf{0}\) . 对任意的数 \(k,\mathbf{A}\left( {k\mathbf{\alpha }}\right) = k\mathbf{A}\mathbf{\alpha } = \mathbf{0}\) . 因此, \(\mathbf{\alpha } + \mathbf{\beta }\) 及 \(k\mathbf{\alpha }\) 均是方程组 \eqref{eq:3.5} 的解. 这一事实表明方程组 \eqref{eq:3.5} 的全部解构成 \(n\) 维列向量空间的一个子空间. 这个子空间称为齐次线性方程组 \eqref{eq:3.5} 的解空间. 

令这个解空间为$V_{A} = \left\{ \mathbf{x}\in \mathbb{K}^n \left|\right. \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0} \right\}$.

这个解空间的维数是多少呢? 我们如何来求出该子空间的一组基 (这时可将方程组的任意一组解表示为基向量的线性组合, 从而达到用有限多组解表示无穷多组解的目的)?





设 \(\mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right) = r < n\) ,则 \(\mathbf{A}\) 有 \(r\) 个行向量线性无关,因此剔除了多余的方程式以后,还剩 \(r\) 个方程式,不妨就设为前 \(r\) 个方程式. 如果允许未知数的对换,则我们可假定这 \(r\) 个方程式系数矩阵的前 \(r\) 个列向量线性无关,将 \eqref{eq:3.5} 式化为

\begin{align}\label{eq:3.6}
	\begin{cases}
		{a}_{11}{x}_{1} + \cdots + {a}_{1r}{x}_{r} = - {a}_{1,r + 1}{x}_{r + 1} - \cdots - {a}_{1n}{x}_{n}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {a}_{r1}{x}_{1} + \cdots + {a}_{rr}{x}_{r} = - {a}_{r,r + 1}{x}_{r + 1} - \cdots - {a}_{rn}{x}_{n}.
	\end{cases}
\end{align}




将上述方程组看成为 \(r\) 个未知数的线性方程组,注意到它的系数行列式不等于零\footnote{容易验证系数矩阵是一个满秩阵,一定是非奇异阵.}. 用 Cramer 法则将方程组 \eqref{eq:3.6} 解出来,其解含有 \(n - r\) 个参数,不妨设为

\begin{align}\label{eq:3.7}
	\begin{cases}
		{x}_{1} = {c}_{1,r + 1}{x}_{r + 1} + \cdots + {c}_{1n}{x}_{n}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {x}_{r} = {c}_{r,r + 1}{x}_{r + 1} + \cdots + {c}_{rn}{x}_{n}, 
	\end{cases}
\end{align}




其中 \({x}_{r + 1},\cdots ,{x}_{n}\) 可取任何数,依次取

\[
\begin{cases}
	{x}_{r + 1} = 1,{x}_{r + 2} = 0,\cdots ,{x}_{n} = 0, \\ {x}_{r + 1} = 0,{x}_{r + 2} = 1,\cdots ,{x}_{n} = 0, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {x}_{r + 1} = 0,{x}_{r + 2} = 0,\cdots ,{x}_{n} = 1,
\end{cases}
\]
便得到 \(n - r\) 个解:

\[
{\mathbf{\eta }}_{1} = \left( \begin{matrix} {c}_{1,r + 1} \\ \vdots \\ {c}_{r,r + 1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right) ,{\mathbf{\eta }}_{2} = \left( \begin{matrix} {c}_{1,r + 2} \\ \vdots \\ {c}_{r,r + 2} \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right) ,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{n - r} = \left( \begin{matrix} {c}_{1n} \\ \vdots \\ {c}_{rn} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{matrix}\right) .
\]

不难看出 \({\mathbf{\eta }}_{1},{\mathbf{\eta }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{n - r}\) 线性无关.

我们希望这 \(n - r\) 个解向量就是解空间的基. 为此,我们只须证明方程组的任意一个解可以表示为这 \(n - r\) 个解的线性组合即可. 设 \(\mathbf{\eta }\) 是齐次线性方程组 \eqref{eq:3.5} 的任一解向量, 且设

\[
\mathbf{\eta } = \left( \begin{matrix} {a}_{1} \\ {a}_{2} \\ \vdots \\ {a}_{n} \end{matrix}\right)
\]

则 \({a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}\) 必须适合\eqref{eq:3.7} 式,即

\[
\begin{cases}
	{a}_{1} = {c}_{1,r + 1}{a}_{r + 1} + \cdots + {c}_{1n}{a}_{n}, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {a}_{r} = {c}_{r,r + 1}{a}_{r + 1} + \cdots + {c}_{rn}{a}_{n}.
\end{cases}
\]

于是

\[
\mathbf{\eta } = {a}_{r + 1}{\mathbf{\eta }}_{1} + {a}_{r + 2}{\mathbf{\eta }}_{2} + \cdots + {a}_{n}{\mathbf{\eta }}_{n - r}
\]

这即表明方程组 \eqref{eq:3.5} 的任一解均可表示为 \({\mathbf{\eta }}_{1},{\mathbf{\eta }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{n - r}\) 的线性组合,因此 \({\mathbf{\eta }}_{1},{\mathbf{\eta }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{n - r}\) 是方程组 \eqref{eq:3.5} 解空间的一组基. 由此即知方程组 \eqref{eq:3.5} 的解空间维数为 \(n - r\) . 一个齐次线性方程组解空间的基又称为该方程组的基础解系. 我们把上面的论证总结为如下定理.





\begin{theorem}[齐次线性方程组解的结构定理]\label{theorem:3.20}
	设有齐次线性方程组
	\begin{align}\label{eq:3.8}
		 \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{0},
	\end{align}
	其中 \(\mathbf{A} = \left( {a}_{ij}\right)\) 是 \(m \times n\) 矩阵. 若 \(\mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right) = r < n\) ,则上述方程组有非零解. 它的解构成 \(n\) 维列向量空间的一个 \(n - r\) 维子空间. 也就是说,存在 \(n - r\) 个向量构成的基础解系 \(\left\{ {{\mathbf{\eta }}_{1},{\mathbf{\eta }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{n - r}}\right\}\) ,使方程组 \eqref{eq:3.8} 的任一组解均可表示为 \(\left\{ {{\mathbf{\eta }}_{1},{\mathbf{\eta }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{n - r}}\right\}\) 的线性组合.
\end{theorem}






现在我们转而考虑非齐次线性方程组, 它的矩阵形式为
\begin{align}\label{eq:3.9}
	\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{\beta }.
\end{align}




称齐次方程组

\begin{align}\label{eq:3.10}
	{Ax} = 0
\end{align}



为方程组 \eqref{eq:3.9} 的相伴齐次线性方程组 (或导出组). 若 \(\gamma\) 是方程组 \eqref{eq:3.9} 的一个解,如 \(\mathbf{\alpha }\) 是其相伴齐次线性方程组的解,则

\[
\mathbf{A}\left( {\mathbf{\alpha } + \mathbf{\gamma }}\right) = \mathbf{A}\mathbf{\alpha } + \mathbf{A}\mathbf{\gamma } = \mathbf{0} + \mathbf{\beta } = \mathbf{\beta }.
\]

因此相伴齐次线性方程组的任一解与方程组 \eqref{eq:3.9} 的解之和仍是方程组 \eqref{eq:3.9} 的解. 现固定方程组 \eqref{eq:3.9} 的一个解 \(\gamma\) ,称之为方程组 \eqref{eq:3.9} 的一个特解,我们要找出方程组 \eqref{eq:3.9} 的一切解. 设 \(\xi\) 是方程组 \eqref{eq:3.9} 的任一解,则

\[
{A\xi } = \beta = {A\gamma }
\]

于是

\[
\mathbf{A}\left( {\mathbf{\xi } - \mathbf{\gamma }}\right) = \mathbf{0}
\]

即 \(\xi - \gamma\) 是相伴齐次线性方程组解. 因此只要知道方程组 \eqref{eq:3.9} 的一个特解和相伴的齐次线性方程组的一切解, 那么它的任一解都可以知道了. 由定理 \ref{theorem:3.20}, 相伴齐次方程组 \eqref{eq:3.10} 有一组基础解系 \(\left\{ {{\eta }_{1},{\eta }_{2},\cdots ,{\eta }_{n - r}}\right\}\) ,因此方程组 \eqref{eq:3.9} 的解可表示为

\[
{k}_{1}{\mathbf{\eta }}_{1} + {k}_{2}{\mathbf{\eta }}_{2} + \cdots + {k}_{n - r}{\mathbf{\eta }}_{n - r} + \mathbf{\gamma }
\]

于是我们得到了非齐次线性方程组解的结构定理.


\begin{theorem}[线性方程组解的结构定理]
	 设有非齐次线性方程组 \eqref{eq:3.9},它的系数矩阵 \(\mathbf{A}\) 及其增广矩阵 \(\widetilde{\mathbf{A}}\) 的秩都等于 \(r,r < n\) . 又假定方程组 \eqref{eq:3.9} 的相伴齐次方程组有基础解系 \(\left\{ {{\mathbf{\eta }}_{1},{\mathbf{\eta }}_{2},\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{n - r}}\right\}\) ,又 \(\mathbf{\gamma }\) 是方程组 \eqref{eq:3.9} 的任一特解,则其所有解均可表示为如下形状:
	\[
	{k}_{1}{\mathbf{\eta }}_{1} + {k}_{2}{\mathbf{\eta }}_{2} + \cdots + {k}_{n - r}{\mathbf{\eta }}_{n - r} + \mathbf{\gamma }
	\]
	其中 \({k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{n - r}\) 可取任何数.
\end{theorem}



将线性方程组的求解步骤总结如下:


第一步: 对增广矩阵 \(\widetilde{\mathbf{A}}\) 进行初等行变换及第一类初等列变换 (列对换),注意用虚线将常数列隔开且不允许常数列与其他列对换. 经过若干次初等变换后将 \(\widetilde{\mathbf{A}}\) 化成下列形状:
\[\begin{pmatrix}
	\begin{array}{ccccccc:c}
		1 & 0 & \cdots & 0 & {c}_{1,r + 1} & \cdots & {c}_{1n} & {d}_{1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & {c}_{2,r + 1} & \cdots & {c}_{2n} & {d}_{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & {c}_{r,r + 1} & \cdots & {c}_{rn} & {d}_{r} \\ & & & & & &  & *
	\end{array}
\end{pmatrix}\]


上述矩阵空白部分全为零,若 \(*\) 部分有元素不等于零,则表示 \(\mathrm{r}\left( \widetilde{\mathbf{A}}\right) > \mathrm{r}\left( \mathbf{A}\right)\) ,因此原方程组无解; 若 \(*\) 部分所有元素全为零,则原方程组有解.

第二步: 写出特解 (注意: 若有列变换, 这还不是原方程组的特解) 及相伴齐次线性方程组的基础解系 (若有列变换, 这也不是原方程组相伴齐次线性方程组的基础解系):

\[
\mathbf{\gamma } = \left( \begin{matrix} {d}_{1} \\ \vdots \\ {d}_{r} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right) ,{\mathbf{\eta }}_{1} = \left( \begin{matrix} - {c}_{1,r + 1} \\ \vdots \\ - {c}_{r,r + 1} \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right) ,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{n - r} = \left( \begin{matrix} - {c}_{1n} \\ \vdots \\ - {c}_{rn} \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{matrix}\right) .
\]

第三步: 根据列对换情况,调整 \(\gamma ,{\eta }_{1},\cdots ,{\eta }_{n - r}\) 的各分量,得到原方程组的特解 \(\delta\) 以及原方程组相伴齐次线性方程组的基础解系 \({\mathbf{\xi }}_{1},\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{n - r}\) . 最后写出原方程组的解:

\[
{k}_{1}{\mathbf{\xi }}_{1} + \cdots + {k}_{n - r}{\mathbf{\xi }}_{n - r} + \mathbf{\delta }
\]

其中 \({k}_{1},\cdots ,{k}_{n - r}\) 为参变数.

\begin{note}
	首先将增广矩阵化为阶梯型判断方程组是否有解,然后再将其化为"标准型",此时增广矩阵的最后一列即为特解(需要补全到变量的个数),其余列取相反数并依次填上1为基础解系.
\end{note}


\begin{example}
	求解下列线性方程组:
	\[
	\begin{cases}
		{x}_{1} + 3{x}_{2} - 2{x}_{3} + 4{x}_{4} + {x}_{5} = 7 \\ 2{x}_{1} + 6{x}_{2} + 5{x}_{4} + 2{x}_{5} = 5 \\ 4{x}_{1} + {11}{x}_{2} + 8{x}_{3} + 5{x}_{5} = 3 \\ {x}_{1} + 3{x}_{2} + 2{x}_{3} + {x}_{4} + {x}_{5} = - 2
	\end{cases}
	\]
\end{example}

\begin{solution}
	对方程组的增广矩阵作如下初等变换:
	
	\[\begin{pmatrix}
		\begin{array}{ccccc:c}
			1 & 3 & - 2 & 4 & 1 & 7  \\
			 2 & 6 & 0 & 5 & 2 & 5  \\
			  4 & {11} & 8 & 0 & 5 & 3  \\ 
			  1 & 3 & 2 & 1 & 1 & - 2 
		\end{array}
	\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
	\begin{array}{ccccc:c}
		 1 & 3 & - 2 & 4 & 1 & 7 \\
		  0 &  1 & {-16} &  {16} & -1 &  {25} \\
		   0 & 0 & 4 & - 3 & 0 & - 9 \\
		  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 
	\end{array}
	\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
	\begin{array}{ccccc:c}
		1 & 0 & 0 & - \frac{19}{2} & 4 & \frac{71}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 4 & - 1 & - {11} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{4} & 0 & - \frac{9}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
	\end{array}
	\end{pmatrix}  \]
	
	由此可得原方程组的特解 \(\gamma\) 及相伴齐次方程组的基础解系 \(\left\{ {{\eta }_{1},{\eta }_{2}}\right\}\) 如下:
	
	\[
	\mathbf{\gamma } = \left( \begin{matrix} \frac{71}{2} \\ - {11} \\ - \frac{9}{4} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) ,{\mathbf{\eta }}_{1} = \left( \begin{matrix} \frac{19}{2} \\ - 4 \\ \frac{3}{4} \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right) ,{\mathbf{\eta }}_{2} = \left( \begin{matrix} - 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right)
	\]
	
	原方程组的全部解为 \({k}_{1}{\mathbf{\eta }}_{1} + {k}_{2}{\mathbf{\eta }}_{2} + \mathbf{\gamma }\) .
\end{solution}

上例中我们只用行初等变换就把增广矩阵的左半部分化为对角形. 但有时光靠行初等变换不一定能做到这一点, 这时我们可用列的对换. 注意列的对换仅改变未知数的次序而不影响方程组的解, 因此是允许的. 我们不必用其他两类列变换就可求出解来.

\begin{example}
	求解下列线性方程组:
	\[
	\left\{ \begin{array}{l} {x}_{1} + 2{x}_{2} - {x}_{3} + 3{x}_{4} + {x}_{5} = 2 \\ 2{x}_{1} + 4{x}_{2} - 2{x}_{3} + 6{x}_{4} + 3{x}_{5} = 6 \\ - {x}_{1} - 2{x}_{2} + {x}_{3} - {x}_{4} + 3{x}_{5} = 4 \end{array}\right.
	\]
\end{example}
\begin{solution}
	对增广矩阵进行如下初等变换:
	\[  
	\begin{pmatrix}
		\begin{array}{ccccc:c}
			1 & 2 & - 1 & 3 & 1 & 2  \\
			 2 & 4 & - 2 & 6 & 3 & 6  \\ 
			 - 1 & - 2 & 1 & - 1 & 3  & 4
		\end{array}
	\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
	\begin{array}{ccccc:c}
		1 & 2 & - 1 & 3 & 1 & 2 \\
		0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\
		 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 
	\end{array}
	\end{pmatrix}\]
	此时前3列是线性相关的,需要进行列对换,第2列与第4列进行对换,第3列与第5列进行对换,得到矩阵如下:
	\[\begin{pmatrix}
		\begin{array}{ccccc:c}
			1 & 3 & 1 & 2 & - 1 & 2 \\
			 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 3 \\
			  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2
		\end{array}
	\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
	\begin{array}{ccccc:c}
		1 & 0 & 0 & 2 & - 1 & 3  \\
		 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - 1  \\
		  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 
	\end{array}
	\end{pmatrix}\]
	
	列对换后的线性方程组的特解与基础解系为
	\[
	\mathbf{\gamma } = \left( \begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0  \end{matrix}\right) ,{\mathbf{\eta }}_{1} = \left( \begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right) ,{\mathbf{\eta }}_{2} = \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) .
	\]
	
	再列对换回来可以得到原方程组的特解和基础解系为
	
	\[
	\mathbf{\delta } = \left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}\right) ,{\mathbf{\xi }}_{1} = \left( \begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) ,{\mathbf{\xi }}_{2} = \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) .
	\]
	
	原线性方程组的解为
	
	\[
	{k}_{1}{\mathbf{\xi }}_{1} + {k}_{2}{\mathbf{\xi }}_{2} + \mathbf{\delta }
	\]
\end{solution}


\begin{corollary}
	设$Ax = \beta(\beta\neq 0)$的特解为$\gamma$,相伴的齐次线性方程组$Ax = 0$的基础解系为$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}$,则
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item $\gamma ,\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}$线性无关;
		\item $Ax = \beta$的任一解必为如下形式
		\[c_0\gamma+c_1(\gamma+\eta_1)+c_2(\gamma+\eta_2)+\cdots+c_{n-r}(\gamma+\eta_{n-r})\]
		其中
		\[c_0+c_1+\cdots+c_{n-r} = 1.\]
	\end{enumerate}
\end{corollary}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[(1)]
		\item 设
		\[\lambda_0\gamma+\lambda_{1}(\gamma+\eta_1)+\cdots+\lambda_{n-r}(\gamma+\eta_{n-r}) = 0\]
		即
		\[\left(\sum_{i=0}^{n-r}\lambda_i\right) \gamma+\lambda_{1}\eta_1+\cdots \lambda_{n-r}\eta_{n-r} = 0\]
		两边同时乘以$A$可以得到
		\[\left(\sum_{i=0}^{n-r}\lambda_i\right)  A\gamma = \left(\sum_{i=0}^{n-r}\lambda_i\right) \beta = 0
		\]
		由于$\beta\neq 0$,于是
		\[\sum_{i=0}^{n-r}\lambda_i  = 0\]
		可以得到
		\[\lambda_{1}\eta_1+\cdots \lambda_{n-r}\eta_{n-r} = 0\]
		由于$\eta_i$为基础解系,线性无关,于是$\lambda_1 = \cdots=\lambda_{n-r} = 0$,可以得到$\lambda_0 = 0$.于是$\gamma ,\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}$线性无关.
		\item 根据线性方程组解的结构定理,任一解可以表示为
		\begin{align*}
			\alpha &=\mathbf{\gamma }+ {k}_{1}{\mathbf{\eta }}_{1} + {k}_{2}{\mathbf{\eta }}_{2} + \cdots + {k}_{n - r}{\mathbf{\eta }}_{n - r} \\
			&=(1-k_1-\cdots-k_{n-r})\gamma+k_1(\gamma+\eta_1)+k_2(\gamma+\eta_2)+\cdots+k_{n-r}(\gamma+\eta_{n-r})
		\end{align*}
		令系数分别为$c_0,c_1,\cdots,c_{n-r}$,即有
		\[\sum_{i=0}^{n-r}c_i = 1.\]
	\end{enumerate}
\end{proof}



\begin{note}
	齐次线性方程组的解空间构成了$\mathbb{K}^n$的一个子空间,根据上述推论可以看到非齐次线性方程组的解空间相当于在其相伴的齐次线性方程组的解空间基础上进行了平移,称为仿射空间.
\end{note}




齐次线性方程组$Ax = 0$的解空间$V_A$的维数为$n-r$,即有
\[\dim_{\mathbb{K}} V_A+\mathrm{r}(A) = n \]

应用一:若$A$为$n$阶方阵,则$A$非异$\leftrightarrow Ax = 0$只有零解.


\begin{example}\label{example:3.24}
	设$A$为$n$阶方阵,有$A^2 -A-3I_n = 0$,求证$A-2I_n$非异.
\end{example}
\begin{proof}
	\fbox{方法一}凑因子法:$(A-2I_n)(A+I_n) = I_n$;
	
	\fbox{方法二}线性方程求解法:只要$(A-2I_n)x = 0$只有零解即可.
	
	 设$x_0$是上述齐次线性方程组的解,则有
	 \[Ax_0 = 2x_0,\quad A^2x_0 = 2Ax_0 = 4x_0\]
	 于是
	 \[(A^2-A-3I_0)x_0 = -x_0 = 0\]
	 于是$x_0 = 0$.
\end{proof}


应用二:利用$\mathrm{r}(A)$求$V_A$.

\begin{example}
	设$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{n}$是$\mathbb{K}$中不同的数,$1\le k\le n-1$,有下列两个齐次线性方程组
	\[(\Rmnum{1})\begin{cases}
		x_1+x_2+\cdots+x_n = 0\\
		\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots+\lambda_{n}x_n = 0\\
		\cdots\\
		\lambda_1^{k-1}x_1+\lambda_2^{k-1}x_2+\cdots+\lambda_{n}^{k-1}x_n = 0
	\end{cases},\quad (\Rmnum{2})\begin{cases}
	\lambda_1^{k} x_1+\lambda_2^{k}x_2+\cdots+\lambda_n^{k}x_n = 0\\
	\lambda_1^{k+1} x_1+\lambda_2^{k+1}x_2+\cdots+\lambda_n^{k+1}x_n = 0\\
	\cdots\\
	\lambda_1^{n-1}x_1+\lambda_2^{n-1}x_2+\cdots+\lambda_{n}^{n-1}x_n = 0
	\end{cases} \]
	设$(\Rmnum{1})$的解空间为$V_1$,$(\Rmnum{2})$的解空间为$V_2$,证明$\mathbb{K}^n = V_1\oplus V_2 $.
\end{example}
\begin{proof}
	要证直和,只需证$V_1 \cap V_2 = \{0\}$即可.即$(\Rmnum{1})$和$(\Rmnum{2})$联立后的方程组的解空间只有零解.记联立后的齐次线性方程组的系数矩阵为$A$,为范德蒙行列式,
	\[|A| = \prod_{1\le j<i\le n}(\lambda_i-\lambda_j)\neq 0\]
	于是联立后的方程组只有零解,即$V_1 \cap V_2 = \{0\}$.
	
	记$(\Rmnum{1})$的系数矩阵为$A_1$,$(\Rmnum{2})$的系数矩阵为$A_2$,则
	\[A = \begin{pmatrix}
		\begin{array}{c}
			A_1\\
			\hdashline
			A_2
		\end{array}
	\end{pmatrix}\]
	由于$\mathrm{r}(A) = n$,于是$\mathrm{r}(A_1) = k$,$\mathrm{r}(A_2) = n-k$.
	
	根据解空间的维数公式有
	\[\dim V_1 = n - \mathrm{r}(A_1) = n-k,\quad \dim V_2 = n - \mathrm{r}(A_2) = k\]
	于是\[\dim(V_1\oplus V_2) = n-k+k = n = \dim \mathbb{K}^n,\]
	于是\[\mathbb{K}^n = V_1\oplus V_2.\]
\end{proof}

\begin{note}
	由于$V_1+V_2$是$\mathbb{K}^n$的子空间,只需验证维数相同即可证明两个空间相同.
	
	证明也很简单,设$U$是$V$的子空间,天然地有$U\subseteq V$.在$U$中取一组基在$V$中是线性无关的,可扩充为$V$的一组基,由于维数相同,此时的扩充是平凡的,即可得到$U$的基也是$V$的基,于是$V$中任一向量都可以用$U$的基线性表示,即$V\subseteq U$,于是两空间相等.
\end{note}


应用三:利用$V_A$求$\mathrm{r}(A)$.

\begin{example}
	设$A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$,证明:$\mathrm{r}(AA') = \mathrm{r}(A'A) = \mathrm{r}(A)$.
\end{example}
\begin{proof}
	设齐次线性方程组$Ax = 0$和$A'Ax = 0$的解空间分别为$V_A,V_{A'A}$,显然有$V_A\subseteq V_{A'A}$.
	
	任取$x_0\in V_{A'A}$,此时$x_0\in \mathbb{R}^n$并且有$A'Ax_0 = 0$.令
	\[Ax_0 = \begin{pmatrix}
		a_1\\
		a_2\\
		\vdots\\
		a_m
	\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^m\]
	对$A'Ax_0 = 0$同时左乘$x_0'$可以得到
	\[(Ax_0)'(Ax_0) = 0\]
	即
	\[\begin{pmatrix}
		a_1&a_2&\cdots&a_m
	\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
	a_1\\
	a_2\\
	\vdots\\
	a_m
	\end{pmatrix} = \sum_{i=1}^{m}a_i^2 = 0\]
	即$\forall i,a_i =0$,即$Ax_0 = 0$,即$x_0\in V_A$.
	
	于是$V_{A'A}\subseteq V_A$.于是$V_A = V_{A'A}$,$\mathrm{r}(A'A) = \mathrm{r}(A)$.
\end{proof}








